модулно- ирационално

[ганка симеонова]

[tex]|x+\sqrt{1-x^2}|=\sqrt{2}(2x^2-1) [/tex]

[Реклама]

[martosss]

полагаме [tex]x=sin\alp[/tex], понеже от ДС имаме [tex]x\in\left[-1\: ;\: -\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}\: ;\: 1\right][/tex], при което получаваме ДС за [tex]\alp : \alp\in\left[-\frac{\pi}{2}\: ;\: -\frac{\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{\pi}{4}\: ;\: \frac{\pi}{2}\right][/tex]:
[tex]|sin\alp +\sqrt{1-sin^2\alp }|=\sqrt{2}|2sin^2\alp -1|\\|sin\alp+cos\alp |=\sqrt{2}|sin^2\alp -cos^2\alp |\\|\N {\sqrt{2}}cos(45-\alp)|=\N {\sqrt{2}}|-cos(2\alp )|\\|cos(45-\alp )|=|-cos(2\alp )|[/tex]+
Сега от ДС за алфа, които имаме, получаваме, че
[tex]cos(2\alp )<0\Right \\|cos(45-\alp )|=-cos(2\alp)[/tex]
[tex]1.\: x\in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}\: ;\: 1\right]\Right \alp\in\left[\frac{\pi}{4}\: ;\: \frac{\pi}{2}\right]\Right cos(\frac{\pi}{4}-\alp )>0\Right cos(45-\alp )+cos(2\alp )=0[/tex]

[tex]2cos(\frac{45-a+2a}{2})cos(\frac{45-a-2a}{2})=0[/tex]

[tex]\frac{\frac{\pi}{4}+a}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \cup \frac{\frac{\pi}{4}-3a}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
[tex]a=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\notin D.S.\cup a=\frac{-3\pi -8k\pi}{12}\Right k=-1\Right \alp =\frac{5\pi}{12}\Right x=sin(75)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex]

[tex]2.\: x\in \left[-1\: ;\: -\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\Right \alp\in\left[-\frac{\pi}{2}\: ;\: -\frac{\pi}{4}\right]\Right cos(\frac{\pi}{4}-\alp )<0\Right cos(2\alp )-cos(45-\alp )=0\Leftright -2sin(\frac{2a+45-a}{2})sin(\frac{2a-45+a}{2})=0[/tex]
[tex]\frac{a+\frac{\pi}{4}}{2}=0+k\pi\cup \frac{3a-\frac{\pi}{4}}{2}=0+k\pi[/tex]
[tex]a=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\Right k=0\Right x=-\frac{\sqrt 2}{2}\cup a=\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\notin D.S.[/tex]

Окончателно като решение остана само [tex]x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cup x=\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}[/tex]

[Пафнутий]

[tex]|x+\sqrt{1-x^2}|=\sqrt{2}(2x^2-1)[/tex]
Д.О [tex]x\in [-1;1][/tex]
[tex]|x+\sqrt{1-x^2}|=\sqrt{2}(x^2-1+x^2)[/tex]
[tex]|x+\sqrt{1-x^2}|=\sqrt{2}(x^2-(1-x^2))[/tex]
[tex]|x+\sqrt{1-x^2}|=\sqrt{2}(x-\sqrt{1-x^2})(x+\sqrt{1-x^2})[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex](x+\sqrt{1-x^2})^2=2(x-\sqrt{1-x^2})^2(x+\sqrt{1-x^2})^2[/tex]
1случай: [tex]x+\sqrt{1-x^2}=0\Rightarrow x_{1}=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].Тогава имаме 0=0 -вярно
2случай: [tex]x+\sqrt{1-x^2}\ne0\Rightarrow x\ne\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Тогава делим на [tex](x+\sqrt{1-x^2})^2[/tex] и уравнението става еквивалентно на:
[tex]2(x-\sqrt{1-x^2})^2=1\Rightarrow x_{2,3}=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}[/tex].След проверка [tex]x_{1,3}\in D.O[/tex]
Отг: [tex]x=-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex]

[ганка симеонова]

Идеята е чудеснам но оправи 2)

[martosss]

stanislave, я вземи си оправи и 1)

Впрочем аз си дописах решението, надявам се да е вярно, може би трябваше да сложа [tex]+2k\pi[/tex] накрая на отговорите, ама.... това като че ли не е от голямо значение, могат да се проверят и няколко съседни стойности

[ганка симеонова]

[martosss]

Сега по-добре ли е?

Знаех си че трябва с [tex]k\pi[/tex] да го направя, ама ме мързеше и за това на ум... и разбира се съм сгрешил