екстремална задача

[ганка симеонова]

Да се докаже, че ако в [tex]\Delta ABC \angle B>90^\circ [/tex] и [tex]AB=\frac{1}{2 } AC[/tex], то [tex]\angle C>\frac{1}{ 2}\angle A [/tex]

[Реклама]

[martosss]

Нека си означим АВ=х, АС=2х, и да си начертаем ъглополовящата AL(L[tex]\in BC[/tex]). Тъй като ъгъл В > 90, то АС>BC => BC<2x , CL/BL=AC/AB=2/1 => ако означим BL=a, CL=2a, то BL+LC=BC=3a<2x=> a<2x/3 => a<x =>

CL<x

От друга страна AL е най-голямата страна в триъгълник ABL => AL>AB=>

AL>x

Сега в триъгълник ALC имаме ъгъл АСL>ъгъл CAL, понеже AL>x>CL, откъдето [tex]\frac{1}{2}\angle CAL<\angle C[/tex]

[ганка симеонова]