 Регистрирайте се
Алгоритъм за един вид диференциалниу уравнения
|
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
Stojkica
Начинаещ
Регистриран на: 11 Sep 2008
Мнения: 1
 
|
 Пуснато на: Thu Sep 11, 2008 9:22 am Заглавие: Алгоритъм за един вид диференциалниу уравнения |
|
|
Имаме следното ОДУ:
xy'' - (x+1)y' -2(x-1)y = 0, x>0
Уравнението е от втори ред и коенфициентите не са постоянни.
Някой може ли да даде някакъв алгоритъм за такива задачи или поне решение на тази конкретната?
Благодаря предварително. |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Flame
Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
гласове: 16
|
| Пуснато на: Fri Aug 21, 2009 9:39 pm Заглавие: Re: Алгоритъм за един вид диференциалниу уравнения |
|
|
| Stojkica написа: | Имаме следното ОДУ:
xy'' - (x+1)y' -2(x-1)y = 0, x>0
Уравнението е от втори ред и коенфициентите не са постоянни.
Някой може ли да даде някакъв алгоритъм за такива задачи или поне решение на тази конкретната?
Благодаря предварително. |
Това на пръв поглед не приличащо на нищо познато уравнение може да бъде преборено със следната стратегия.
Решението (окончателното решение) търсим във вид:
[tex]y=y_{private}.z[/tex]
Това е и полагането, което трябва да направим. Е сега е и най-трудно, трябва да разпознаем, открием, изчислим, досетим или каквото и да е там частно решение. Това става с директни проби. Такива решения, както ще се сетят запознатите се търсят във вид
[tex]y=sin{kx}, y=cos {kx}, y=e^{ky}, y=Q_m[/tex] (полином от степен m), и , т.н.
Е след краен брой проби (между другото, това частно решение е коректно да се дава на студентите в условието на задачата) е [tex]e^{2x}[/tex].
[tex]y=e^{2 x}.z \Rightarrow[/tex]
[tex]y'=e^{2 x} z'+2 e^{2 x} z[/tex]
[tex]y''=e^{2 x} z''+4 e^{2 x} z'+4 e^{2 x} z[/tex]
Заместваме всичко в зададеното уравнение
[tex] x\left(e^{2 x} z''+4 e^{2 x} z'+4 e^{2x} z\right)-(x+1) \left(e^{2 x} z'+2 e^{2 x} z\right)-2.(x-1) e^{2x}z=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]e^{2 x} \left(x z''+(3 x-1) z'\right)=0[/tex]-очакван резумтат при такова заместване
[tex]x z''+(3 x-1) z'=0[/tex]
Последното ДУ търпи понижение на реда с полагането
[tex]u=z'[/tex]
И се получава:
[tex]x u'+(3 x-1).u=0[/tex], което съвсем уби интригата ДУ с отделящи се променливи.
След рeшението на последното се връщаме в полагането. В крайна сметка получаваме [tex]z=f(x, C_1, C_2)[/tex]
И окончателно получаваме:
[tex]y=y_{private}.z=e^{2x}.z=e^{2x}.f(x,C_1,C_2)[/tex]
Няма защо да Ви казвам, но все пак решението и тук е красиво!  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
