Складове, изделия

[Saposto_MM]

В един склад има N на брои изделия от първо качество. Във втори склад има N на брои изделия от второ качество и т.н. до n-тия склад, в който има N на брой изделия от n-то качество.
От първото качество p₁ на брой изделия, струват a лв., от второто качество p₂ на брой изделия, струват a лв. и т.н. до n-тото качество, от които p_n на брой изделия, струват a лв. Ако изделията от всички качества се смесят и p₁+p₂+...+p_n на брои от тях се продават за na лв., ще се загуби ли или ще се спечели?

[Реклама]

[gdimkov]

Да разгледаме за начало случая n=2. Тогава цените на изделията от двата склада са съответно [tex]c_1={a \over p_1},\,c_2={a \over p_2}[/tex]. Смесваме изделията от двата склада и продаваме [tex]p=p_1+p_2[/tex] от тях на обща цена [tex]2a[/tex]. Това означава, че сме продали [tex]q[/tex] изделия от първия вид и [tex]p-q[/tex] от втория.
Реалната цена на продадените изделия е [tex]{aq \over p_1}+{{a(p-q)} \over p_2}[/tex]. (Изключваме случаите [tex]p_1=q,\,p_2=q[/tex], които не са интересни.) Разбира се [tex]q\ge 0[/tex].
Разглеждаме разликата
[tex]R={aq \over p_1}+{{a(p-q)} \over p_2}-2a[/tex]
и се интересуваме от нейния знак. Числото [tex]a[/tex] е положителен множител и спокойно се абстрахираме от него. Привеждаме под общ знаменател [tex]p_1p_2>0[/tex] - също се абстрахираме от него. Тогава
[tex]R=(p_2-p_1)q+(p-2p_2)p_1[/tex]
е линейна функция, зависеща от променливата [tex]q[/tex]. Оттук нататък е лесно дасе види кога тази функция взима положителни и кога отрицателни стойности. Трябва все па кда помним, че стойностите на променливата [tex]q[/tex] са цели неотрицателни числа.
Този частен случай може да хвърли светлина върху многобройните възможности, които може да предложи общият случай.