Нова олимпиада

[Spider Iovkov]

Значи... устройвам малка виртуална олимпиадка, в която може да се включи всеки желаещ, . Надявам се да ви хареса. В началото на всяка седмица ще пускам условията на новите задачи, като ще имате време за решение на конкретната тема една седмица. Задачите са построени върху материала, който се изучава в средното училище, и нищо повече от това. Ето първата тема...


Тема 1: 10 — 17 септември

Задача 1. Решете неравенството:

[tex]log_{2}(\sqrt{2x^2-1}+|x|)\le log_{|x+3|}(x^2-1).log_{2}(x+3)[/tex]. (4 точки)

Задача 2. Решете уравнението:

[tex]x^4+4x-1=0[/tex]. (6 точки)

Задача 3. Известно е, че в равнобедрения трапец [tex]ABCD[/tex] [tex](BC||AD)[/tex] е изпълнено [tex]BC>AD[/tex]. Трапецът [tex]ADCE[/tex] [tex](AE||DC)[/tex] е също равнобедрен и [tex]AE>DC[/tex]. Определете [tex]BE[/tex], ако се знае, че косинусът от сумата на [tex]\angle CDE[/tex] и [tex]\angle BDA[/tex] е равен на [tex]\frac{1}{3}[/tex], а [tex]DE=7[/tex]. (5 точки)

Задача 4. Дадена е функцията [tex]f(x)=x^4-6x^2+12x-6[/tex]:
а) дркажете, че тя има единствен локален екстремум;
б) докажете, че [tex]f(x)>0[/tex] за всяко [tex]x\ge1[/tex];
в) докажете, че уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има точно два различни корена. (5 точки)

Задача 5. Определете минимума и максимума на функцията [tex]f(x)=\frac{3x+1}{(3x+1)^2+1}[/tex]. (4 точки)

Задача 6. Последователността от числа [tex]b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...[/tex] е геометрична прогресия. Известно е, че [tex]b_{2}b_{10}=16[/tex]. Определете стойността [tex]b_{4}b_{6}b_{8}[/tex]. (4 точки)


Решенията си може да пускате в самата тема, .

[Реклама]

[NoThanks]

Браво за начинанието!
Задача 4. Дадена е функцията [tex]f(x)=x^4-6x^2+12x-6[/tex]:
а) дркажете, че тя има единствен локален екстремум;
б) докажете, че [tex]f(x)>0[/tex] за всяко [tex]x\ge1[/tex];
в) докажете, че уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има точно два различни корена. (5 точки)
[tex]f'(x)=4x^3 - 12x + 12[/tex]
[tex]f"(x)= 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)[/tex]
т.е функцията f'(x) расте в [tex](-\infty;-1) \cup (1;\infty)[/tex] и намалява в (-1;1).
Разглеждаме 3те интервала:
1) (-безкрай;-1)
[tex]lim(x->-\infty)f'(x) = lim(x-> -\infty)x^3(4 - 12/x^2 +12/x^3) = -\infty [/tex]
[tex]f'(-1) = -4 +12 +12 = 20[/tex]
[tex]=> f'(-1)*lim(x->-\infty) =(+)*(-) =>[/tex] съществува [tex]\alpha[/tex], т.ч [tex]f'(\alpha)=0 & \alpha \in (-\infty;-1)[/tex]
2) (-1;1)
[tex]f'(-1) = 20[/tex]
[tex]f'(1) = 4 -12 +12 = 4[/tex]
[tex]=> f'(-1)*f'(1) = (+)*(+) => f'(x)=0 [/tex] няма корен в [tex](-1;1)[/tex]
3) [tex](1; \infty)[/tex]
[tex]f'(1) = 4[/tex]
[tex]lim(x->\infty)f'(x) = \infty [/tex]
=> f'(x)=0 няма корен и в този интервал
=> остана единствения корен [tex]\alpha \in (-\infty;-1)[/tex]
=> f(x) има единствен локален екстремум
Сега смятаме [tex] f"(\alpha) = 12\alpha^2 -12 = 12(\alpha -1)(\alpha+1)[/tex],
но [tex]\alpha \in (-\infty;-1) => f"(\alpha)>0 => \alpha[/tex] е локален минимум за f(x)
Смятаме f(1) = 1-6+12-6 = 1
Смятаме f(2) = 16 -24 + 26 -6 =10
Тъй като знаем, че алфа е в (-безкрай;-1) , то в интервала [1;безкрай) f(x) e Монотонна и очевидно растяща. като f(1)=1>0 => б) е доказано
Смятаме [tex]lim(x->-\infty)(f(x) = lim(x->-\infty)x^4(1-6/x^2 +12/x -6/x^4) = +\infty[/tex]
и
[tex]lim(x->+\infty)f(x) = +\infty[/tex]
Смятаме f(0) = -6 , откъдето получаваме, че у-ето има по 1 корен в (-безкрай;0) и в (0;безкрай) => точно 2 решения!


Задача 5. Определете минимума и максимума на функцията [tex]f(x)=\frac{3x+1}{(3x+1)^2+1}[/tex]. (4 точки)

[tex]f(x)=\frac{3x+1}{9x^2 +6x+2}[/tex]
за f'(x) след преобразуване получаваме:
[tex]f'(x)=\frac{-9x(3x+2)}{(9x^2+6x+2)^2}[/tex]
откъдето намираме x=-2/3 локален минимум; x=0 Локален максимум
f(0)=1/2
f(-2/3) = (-2+1)/1+1 = -1/2
[tex]lim(x->\infty)=x(3+1/x)/x^2(9+6/x+2) = 0[/tex]
Следва мин = -1/2 ;макс =1/2

Задача 6. Последователността от числа [tex]b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...[/tex] е геометрична прогресия. Известно е, че [tex]b_{2}b_{10}=16[/tex]. Определете стойността [tex]b_{4}b_{6}b_{8}[/tex]. (4 точки)

[tex]b_{2}b_{10}=16 => b1qb1q^9 =16 => b1^2q^{10}=16[/tex]
[tex]b_{4}b_{6}b_{8}=b1^2*q^10*b1*q^5 = 16*\sqrt{16} = 64[/tex]

[ObsCure]

6)Съгласно условието

[tex]b_{2}.b_{10}=16[/tex]

откъдето следва,че ако частното на прогресията означим с [tex]q[/tex],то

[tex]b_{1}.q.b_{1}.q_^{9}=16 => b_{1}_^{2}.q_^{10}=16 => (b_{1}.q_^{5})_^{2}=16[/tex]

т.е.

[tex]b_{1}q_^{5}=\pm4[/tex]

1 Случай:[tex]b_{1}q_^{5}=4[/tex]

Следователно

[tex]b_{4}.b_{6}.b_{8}=b_{1}.q_^{3}.b_{1}.q_^{5}.b_{1}.q_^{7}=b_{1}^3.q_^{15}[/tex]=

=[tex](b_{1}.q_^{5})^{3}=4_^{3}=64[/tex]

Аналогично и за 2-ят случай.

P.S.Sorry,сега видях,че НоуТенкс я е написал.В условието не е указано обаче дали прогресията е растяща или намаляваща,което води до разглеждането на 2 случая.

[Saposto_MM]

Добре си захванал Емо, но ти препоръчвам да пускаш повече олимпиадни задачи.
Пиша отностно 4-та задача. Според мен NoThanks е допуснал лека грешка със максимума. Той е [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Та задачи от този тип - намиране на минимуми и максимуми на функция от вида квадратен тричлен/квадратен тричлен могат да се решават със знания за 8-ми клас.
[tex]f\left(x\right)=y\Leftrightarrow y=\frac{3x+1}{\left(3x+1\right)^{2}+1}\Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{-2y\pm \sqrt{1-4y^{2}}}{6y}[/tex]. Понеже x е реално [tex]1-4y^{2}\ge 0[/tex], откъдето [tex]-\frac{1}{2}\le f\left(x\right)\le \frac{1}{2}[/tex].
Този метод е универсален за решаване на такъв тип задачи.

[NoThanks]

[ганка симеонова]

2) [tex]x^4+2x^2+1-2x^2+4x-2=0 =>(x^2+1)^2-2(x-1)^2=0=>x^2+1=\pm \sqrt{2}(x-1).... [/tex]

[ганка симеонова]

3 е интересна, да я видим

[Пафнутий]

Според мен по-добре би било отговорите на задачите да ти се пращат на ЛС, защото има хора, които няма да видят темата веднага и съответно няма да взимат точки. След края на седмицата да се казват резултатите+ отговорите на задачите от предходната

[ганка симеонова]

[Spider Iovkov]

[ганка симеонова]

от еднаквостта на [tex]\Delta ABD; \Delta CDE=>\alpha +\beta +y=x [/tex]
[tex]\Delta ABD=>\alpha +\beta =180^\circ -x=>cos(\alpha +\beta )=-cosx; sin(\alpha +\beta )=sinx [/tex]=>[tex]cosx=-\frac{1}{3 } ; sinx=\frac{2\sqrt{2} }{ 3} [/tex]
[tex]cosy=cos(x-(\alpha +\beta ))=cosxcos(\alpha +\beta )+sinxsin(\alpha +\beta )=sin^2x-cos^2x=\frac{7}{9 } [/tex]
Прилагаме кос. т-ма за [tex]\Delta BDE=>BE=\frac{14}{ 3} [/tex]

[Пафнутий]

Емо, надявам се си прочел моето предложение? Какво е мнението ти? Според мен така е по-удачно, защото аз се прибрах в 3 часа и вече всички задачи бяха решени, а и на мен ми се решава

[martosss]

Добре де, ама мен ме нямаше 1.5 дена и всичко е решено, не е честно Нали имаме 1 седмица да му се не види !!! Пущайте ги на ЛС тия решения и подсказки

[ferry2]

[Spider Iovkov]

Коя, тази с логаритмите? Зачитам тези решения, въпреки че някои се дублират, но това е поради липсата на организация от моя страна. По-късно днес ще пусна нови задачи като реванш, но решенията им само като лични съобщения. В края на първия етап ще обявя кой колко точки е получил и кой какви задачи е решил, . Та... логарифмы вас ждут!

[NoThanks]

Логаритъмът е лесен, просто е много за писане
ДМ:
[tex]2x^2 -1\ge 0 <=> (x\sqrt{2}-1)(x\sqrt{2}+1)\ge 0 => x \in (-\infty;-\sqrt{2}/2) [/tex][tex]\cup(\sqrt{2}/2;+\infty)[/tex]
[tex]\sqrt{2x^2 -1} + |x|>0}[/tex] за всяко х.
[tex]|x+3|\ne 1 => x\ne -4 ; x\ne -2[/tex]
[tex](x-1)(x+1)>0 <=> x \in (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)[/tex]
[tex]x+3>0 <=> x>-3[/tex]
=> окончателно получваме
ДС: [tex] x \in (-3;-2) \cup (-2;-1) \cup (\sqrt{2}/2;+\infty)[/tex]
1) Разглеждаме случая когато [tex] x \in (-3;-2) \cup (-2;-1)[/tex]
=> |x| = -x ; |x+3|=x+3
[tex]log_{2}(\sqrt{2x^2-1}-x)\le log_{x+3}(x^2-1).log_{2}(x+3)[/tex]
Минаваме към логаритъм с основа 2
[tex]=>log_{2}(\sqrt{2x^2-1}-x)\le \frac{log_{2}(x^2-1)}{log_{2}(x+3)}.log_{2}(x+3)[/tex]
[tex]=>log_{2}(\sqrt{2x^2-1}-x)\le log_{2}(x^2-1)[/tex]
2>1 => логаритмичната ф-я е растяща и знакът на неравенството се запазва
[tex]=> \sqrt{2x^2-1} -x \le x^2 -1[/tex]
[tex]=> \sqrt{2x^2-1}\ge x^2 +x -1[/tex]
Като имаме [tex]x^2 +x-1 \ge 0 => x \in (-\infty;\frac{1-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2};\infty;)[/tex]
Стойностите са включени в разглеждания интервал
[tex]=> 2x^2-1\ge x^4 +x^2 +1 +2x^3 -2x^2-2x[/tex]
Сега с Хорнер намираме 1 --->двоен корен, решаваме квадратното у-е дето се получава в другата скоба и сме готови.
2) [tex]x \in (\sqrt{2}/2;+\infty)[/tex]
Абсолютно аналогично!

[Spider Iovkov]

Добре, ето новите задачи, чиито решения изпращайте САМО на лични съобщения, за да не стават недоразумения, .

Задача 1. Последователността от числа [tex]a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...[/tex] е устроена по следния начин: [tex]a_{1}=1[/tex], а всяко следващо число е равно на удвоената сума от предишните числа, тоест [tex]a_{2}=2a_{1}, a_{3}=2(a_{1}+a_{2})[/tex] и т. н. Определете произведението на всички числа от [tex]a_{1}[/tex] до [tex]a_{2001}[/tex]. (5 точки)

Задача 2. Решете уравнението: [tex]tgx+tg2x+tgxtg2xtg3x=tg3x+tg4x[/tex]. (5 точки)

Задача 3. За всяко [tex]x[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] удовлетворява уравнението [tex]f(x+1)=f(x)+2x+1[/tex]. Определете [tex]f(2001)[/tex], ако [tex]f(0)=0[/tex]. (4 точки)

Задача 4. Докажете неравенството: [tex]|sinnx|\le |sinx|, x\in R, n\in N[/tex]. (4 точки)

Задача 5. Страната [tex]AB[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] е равна на [tex]3[/tex], [tex]BC=2AC[/tex], а [tex]E[/tex] е точката, в която продължението на ъглополовящата [tex]CD[/tex] пресича описаната около триъгълника окръжност, [tex]DE=1[/tex]. Определете [tex]AC[/tex]. (6 точки)

Задача 6. Решете системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}\sqrt{8x+1}+\sqrt{2-y}=4\\16x-y-8xy+2=9\end{tabular}[/tex].(3 точки)

Задача 7. В ъгъл са вписани няколко окръжности, радиусите на които постепенно нарастват. Всяка следваща окръжност се допира до предишната. Определете сумата от дължините на втората и третата окръжност, ако радиусът на първата е равен на [tex]1[/tex], а лицето на кръга, ограничен от четвъртата окръжност, е равно на [tex]64\pi[/tex]. (6 точки)

Задача 8. Решете уравнението:
[tex]|x-1|+|x+1|+|x-2|+|x+2|+...+|x-100|+|x+100|=200x[/tex]. (5 точки)

[Spider Iovkov]

По-късно ще пусна резултатите от първоолимпийския етап. Точките ви трябва да са в интервала [tex][20; 38][/tex], за да минете на втори кръг. И сами можете да си сверите, . Чакайте с трепет новите задачи, , от областния кръг.

[naitsirk]

а решения ще бъдат ли пуснати...

[martosss]

[Spider Iovkov]

[naitsirk]

[Spider Iovkov]

Няма да оповестявам резултати, а само ще кажа, че всички, които се включиха в първия тур, го издържаха и отиват на втория. Поздравления, . Задачите явно бяха много лесни, затова този път ще бъдат по-сложни. Понеже е втори кръг, времето за решения на задачите ще е две седмици, а броят а задачите също ще бъде удвоен, . Решенията отново изпращайте на ЛС.

[Pinetop Smith]

А те къде са, или това е част от олимпиадата?

[garion]

[martosss]

[Spider Iovkov]

Не се притеснявайте за това, всичко ще е наред, .

[Spider Iovkov]

Тема 2: 18 септември — 2 октомври

Задача 1. Решете системата:

[tex]\begin{tabular}{|l}3x^3-4x^2y+xy^2=0\\x^2+y^2=2\end{tabular}[/tex]. (5 точки)

Задача 2. Последователността от числа [tex]a_{1}, a_{2}, ...[/tex] се определя по следното правило:

[tex]a_{1}=2[/tex], [tex]a_{n+1}=\left{\begin a_{n}+2, n=2k\\2a_{n}, n=2k+1[/tex].

Определете [tex]a_{1999}[/tex]. (5 точки)

Задача 3. Изчислете границата: [tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x+1}{5^x+2}[/tex]. (4 точки)

Задача 4. През центъра на окръжността, вписана в [tex]\triangle ABC[/tex], е прекарана права [tex]MN[/tex], успоредна на [tex]AB[/tex], [tex]M\in BC, N\in AC[/tex]. Определете периметъра на четириъгълника [tex]ABMN[/tex], ако е известно, че [tex]AB=5, MN=3[/tex]. (4 точки)

Задача 5. Решете неравенството: [tex]log_{2}^2|2x|-5log_{2}|2x|+2|x|.log_{2}|2x|-4|x|+6\ge 0[/tex]. (6 точки)

Задача 6. Определете интервалите на изпъкналост и инфлексните точки на функцията [tex]f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x[/tex]. (5 точки)

Задача 7. Определете отношението между височината и диаметъра на прав кръгов цилиндър, ако лицето на повърхнината му е равно на лицето на кръга, описан около осно сечение на цилиндъра. (4 точки)

Задача 8. Определете броя на решенията на уравнението [tex]2^{x+1}+2^{1-x}=1-4x-x^2[/tex] и дайте обосновка на отговора си! (4 точки)

Задача 9. Определете всички двойки цели числа [tex](m; n)[/tex], удовлетворяващи уравнението

[tex]m^2+amn-bn^2=0[/tex],

където [tex]a=1743^{50}, b=1995^{50}[/tex]. (6 точки)

Задача 10. Решете уравнението [tex]a^{2x-3}-a^{2x-2}+a^{2x}=b[/tex], където [tex]a, b[/tex] са параметри, а [tex]x[/tex] — променлива. (5 точки)

Засега е това. Дано задачите ви харесат.

[ганка симеонова]

забележка: 3) и 6) не са подходящи за най- активните участници във форума- Станислав и Марто, а и за всички, които не са учили анализ.

[martosss]