Симедиана

[ганка симеонова]

В триъгълник ABC на страната АВ, като на диаметър, е описана окръжност,която пресича ВС и АС съответно в точки D и Е.
Медианата СМ пресича DE в точка N. Да се докаже, че[tex]\frac{DN}{ NE}=\frac{AC^2}{ BC^2} [/tex]

EDIT: Точките А и В на чертежа трябва да разменят местата си. Грешката е моя!

[Реклама]

[NoThanks]

Тъй като CM - медиана, то [tex]S(AMC) = S(BMC)[/tex]
Освен това [tex] N \in CM => S(AMN)=S(BMN) =>[/tex] [tex]S(ANC)=S(BNC)=S(AMC)-S(AMN)=S(BMC) - S(BMN)[/tex]
[tex]=>[/tex] Нека [tex]NH_1 \bot AC[/tex] и [tex] NH_2 \bot BC[/tex]
[tex]=>[/tex] [tex]NH_1*AC=NH_2*BC[/tex] (1)
Но [tex]S(DNC) = NH_1 * CD/2 [/tex]
[tex]S(CNE) = NH_2 * CE/2[/tex]
[tex]S(DNC)/S(CNE) = DN/NE [/tex]
Освен това, от това че AB - диаметър [tex]=> AEB = 90 = ADB[/tex] и ▲AEC≈BDC [tex]=> CE/CD = AC/BC[/tex]
От (1) [tex]NH_1/NH_2 = BC/AC[/tex] и [tex]CD/CE = BC/AC[/tex]
=> [tex]S(DNC)/S(CNE) = DN/NE = NH1*CD/2 / NH2*CE/2 = NH1/NH2 * CD/CE = (BC/AC)^2[/tex]
П.С нямам идея защо излезе BC/AC, а не AC/BC. Малко накратичко го написах, защото това с латекса ми отнема доста време.
Едит: А вземайки предвид коментара, че A и B на чертежа трябва да сменят местата си, значи всичко е точно.

[martosss]

Нека BE пресича СМ в точка Р - [tex]\Del ABE[/tex] - правоъгълен.
имаме [tex]\frac{CE}{CD}=\frac{BC}{AC}\Right CD=\frac{AC*CE}{BC}[/tex].
нека сега приложим теоремата на Менелай за [tex]\Del BDE[/tex] и СМ - [tex]\frac{EN}{ND}*\frac{DC}{BC}*\frac{BP}{PE}=1\Right \frac{DN}{EN}=\frac{\overbrace{DC}^{\frac{AC*CE}{BC}}*BP}{BC*PE}=\frac{AC}{BC^2}*\frac{BP*CE}{PE}[/tex]

Сега остана да докажем, че [tex]\frac{BP*CE}{PE}=AC\Leftright AC*PE=BP*CE[/tex]
[tex]AC*PE=2S_{APC}[/tex]
[tex]BP*CE=BE*CE-PE*CE=2S_{BEC}-2S_{EPC}=2S_{BPC}[/tex]
Остана само да съобразим, че [tex]S_{APC}=S_{BPC}[/tex]