2 задачи по линейна алгебра

[genchev]

Задачите са следните:


1вата си нямам и на идея как става. За 2рата на теория се сещам какво представлява, но не и на практика. Значи T ни е неособена, значи detT≠0. T е матрица на прехода и A и D са подобни матрици => detA=detB и r(A)=r(B). Но дотам... Тази матрица по мои изчисления я докарах до -1,1,1 по главния и всичко друго 0-ли.
Моля дайте ми някакви насоки и по 2те задачи.
Мерси.

[Реклама]

[Relinquishmentor]

За първата:

[tex]U[/tex] e множество от наредени четворки, които има вида [tex](x_1,3x_3,x_3,x_1)[/tex] . Нулевият вектор принадлежи на U, тъй като се получава при даване на нулеви стойности на [tex]x_1[/tex] и [tex]x_3[/tex]. Да вземем два произволни елемента на U и да образуваме сумата им:

[tex]x = (x_1,3x_3,x_3,x_1)[/tex]
[tex]y = (y_1,3y_3,y_3,y_1)[/tex]

[tex]x+y = (x_1 + y_1, 3(x_3 + y_3), x_3 + y_3,x_1+y_1)[/tex]

т.е. сумата има същия вид както събираемите - първият и четвъртият елемент са равни, а вторият е 3 пъти по-голям от третия.

Да умножим [tex]x[/tex] с произволно число [tex]\lambda[/tex] :

[tex]\lambda x = (\lambda x_1,3\lambda x_3,\lambda x_3,\lambda x_1)[/tex]

значии произведението със число дава вектор, който също принадлежи на [tex]U[/tex]. Следователно [tex]U[/tex] e подпространство на [tex]R^4[/tex].

Нека вземем произволен вектор [tex]x = (x_1,3x_3,x_3,x_4)[/tex] от [tex]U[/tex] и произволна четворка с даденото свойство [tex]y = (y_1,y_2,y_3,y_4)[/tex] . Тогава произволен елемент от [tex]V[/tex] ще има вида:

[tex]v = (x_1 + y_1,3x_3 + y_2, x_3 +y_3, x_1 + y_4)[/tex]

Да вземем два произволни елемента от [tex]V[/tex] и да образуваме тяхната сума:

[tex]v_1 = (x_1' + y_1',3x_3' + y_2', x_3' +y_3', x_1' + y_4')[/tex]
[tex]v_2 = (x_1'' + y_1'',3x_3''+ y_2'', x_3'' +y_3'', x_1'' + y_4'')[/tex]

[tex]v_1 + v_2 = (x_1' + x_2'' + y_1'+y_1'',3(x_3' + x_3'') + y_2'+y_2'',x_3'+x_3'' + y_3'+y_3'',x_1'+x_1'' + y_4'+y_4'') = (x_1' + x_2'',3(x_3' + x_3''),x_3'+x_3'',x_1'+x_1'') + (y_1'+y_1'',y_2'+y_2'',y_3'+y_3'',y_4'+y_4'')[/tex] .

Тъй като [tex]U[/tex] е подпространства на [tex]R^4[/tex], то векторът [tex](x_1' + x_2'',3(x_3' + x_3''),x_3'+x_3'',x_1'+x_1'')[/tex] също се съдържа в него. Oт това, че [tex]y_1'+y_2'+y_3'+y_4' + y_1''+y_2''+y_3''+y_4'' = (y_1' + y_1'') + (y_2' + y_2'') + (y_3' + y_3'') + (y_4' + y_4'') = 0[/tex] следва, че елементът [tex](y_1'+y_1'',y_2'+y_2'',y_3'+y_3'',y_4'+y_4'')[/tex] има описаното свойство и следователно елементът [tex]v_1 + v_2[/tex] също принадлежи на [tex]V[/tex].

Да умножим [tex]v[/tex] с произволно число [tex]\lambda [/tex]:

[tex]\lambda v = (\lambda x_1 + \lambda y_1,3\lambda x_3 + \lambda y_2, \lambda x_3 +\lambda y_3, \lambda x_1 + \lambda y_4) = \lambda (x_1,3x_3,x_3,x_4) + \lambda(y_1,y_2,y_3,y_4) [/tex] .

Тъй като U е подпространство на R^4, то произведението на всеки негов вектор с число също е негов вектор. От това, че [tex]\lambda y_1 + \lambda y_2 + \lambda y_3 +[/tex] [tex]\lambda y_4 = 0[/tex], следва, че и елементът [tex]\lambda(y_1,y_2,y_3,y_4)[/tex] иМа исканото свойство и следователно елементът [tex]\lambda v[/tex] принадлежи на множеството [tex]V[/tex] - което означава, че [tex]V[/tex] е подпространство на [tex]R^4.[/tex]

[genchev]

Благодаря ти за точното обяснение.
А за 2рата можеш ли да ми помогнеш? Тази диагонална матрица, тази със собствените стойности ли е? И ако да, как да намеря T?

[Relinquishmentor]

Мога да ти препоръчам сборника "Сборник по ЛААГ" на Диана Левченко, А. Каспарян и Б. Александров, където има много и решени задачи. Подобна задача на тази, за която искаш помощ е решена там надълго и нашироко. Ако не разполагаш със сборника, виж в някой учебник по линейна алгебра за темата "собствени стойности и собствени вектори на линеен оператор". Също може да погледнеш и тази лекция.