An

[ганка симеонова]

Да се докаже, че ако [tex]x_1; x_2 [/tex] са корени на уравнението [tex]x^2-6x+1=0 [/tex], то числото
[tex]A_n=x_1^n+x_2^n [/tex] при произволно естествено n е цяло и не се дели на 5.

[Реклама]

[Baronov]

За [tex]A_{n}[/tex], имаме следната рекурентна връзка:[tex]A_{n+2} = 6A_{n+1} - A_{n}[/tex]. Ще докажем твърдението по индукция. Понеже [tex]A_{0}=2, A_{1}=6[/tex], то имаме база за индукцията. Очевидно всички членове на редицата са цели числа. Ако допуснем, че [tex]A_{n}[/tex] се дели на 5 (n > 1), то от рекурентната връзка следва, че [tex]A_{n-3}[/tex] се дели на 5. Противоречие с индукционното допускане.
С това задачата е решена.