И пак сингапурска

[Пафнутий]

Нека [tex]x_{i}>0[/tex] и [tex]x_{1}x_{2}x_{3}....x_{n}=1[/tex]. Да се докаже неравенството [tex]\sum_{i=1}^n \frac{1}{n-1+x_{i}}\le 1[/tex]
(2зад, Сингапурска олимпиада за определяне на отбора за IMO 2007)
ПП Баронов наистина се оказа прав, че лесно се влиза в отбора на Сингапур Решението ми се оказа грешно, тъй че голяма дума не казвай- както е казал народа

[Реклама]

[NoThanks]

Може и да бъркам, но:
[tex]\sqrt[n]{x1.x2.x3.x4...xn} = \sqrt[n]{1} = 1[/tex]
От СА ≥ СГ => (x1+x2+x3+...+xn)/n ≥ 1. Тъй като n≥1 => x1+x2+...+xn ≥n
=> за израза, който трябва да докажем че е ≤1 получаваме:
1/(n-1+x1+x2...+xn) ≤ 1/n-1+n = 1/2n-1
Тъй като n≥1, то 2n-1≥1 => 1/n-1+x1+x2+...+xn≤1/2n-1 ≤1

[Пафнутий]

Задачата не е да се докаже [tex]\frac{1}{n-1+x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}\le 1[/tex] , а
[tex]\frac{1}{n-1+x_{1}}+\frac{1}{n-1+x_{2}}+\frac{1}{n-1+x_{3}}+...+\frac{1}{n-1+x_{n}}\le 1[/tex]

[NoThanks]

Опс, и аз така си помислих като видях колко набързо излезе това

[erejnion]

задачата става с метод на щурм, ако вземем най-малките такива числа
т.е. взимаме мин от числата - х1 например(х1<1), и минималното от тези числа, които са >1, например х2. и после заменяме х1 и х2 с 1 и х1*х2. след разписване (изважда се (n-1)² пред скоби ) се получава, че новия израз е по-голям от стария, след като х1*х2 <=(n-1)²(почти съм сигурен и ми се спи твърде много да го доказвам строго) и (х1 - 1)(х2 - 1)<=0. прилагаме същия метод докато не стигнем до набор от само единици. QED

едит: х1*х2 <=(n-1)² не винаги е вярно. сори. 5ч сутринта е лягам си

[dim]

Трябва първо да се докаже, че максимума в лявата част се достига когато имаме [tex]n-1[/tex] равни [tex]x_i[/tex].После е достатъчно да се докаже:

[tex]\frac{n-1}{n-1+x}+\frac{1}{n-1+\frac{1}{x^{n-1}} }\le 1[/tex]

Задачата обаче хич не е лека.

[dim]

Бих искал да видя как доказвате първата част на задачата(ако изобщо сте тръгнали по тоя начин).Иначе после е лека работа:

За улеснение при записването полагам [tex]t=n-1[/tex].Тогава имаме:
[tex]\frac{t}{t+x } +\frac{1}{t+\frac{1}{ x^t} } \le 1[/tex], [tex]t^2+\frac{t}{x^t } +t=x\le t^2+\frac{t}{ x^t} +tx+x^{1-t}[/tex], [tex] x^{1-t}\ge t+x-tx[/tex], [tex](1+(x-1))^{1-t}\ge1+(x-1)(1-t) [/tex], което следва от неравенството на Бернули. Равенство при [tex]x=1[/tex] и [tex]n=2[/tex].

[dim]

Няма ли някой да се опита да докаже първата част на задачата, че да сглобим едно пълно решение?

Имам впредвид твърдението, че максимум в лявата част на неравенството се достига при [tex]n-1[/tex] равни [tex]x_i[/tex]-та?

[martosss]

хм.. утре ще я погледна че сега нямам време Изчакай до неделя, ако никой не е написал постни решението и така

[dim]

И аз не мога да дам строго доказателство. Това е само хипотеза . Задачата излиза по тоя начин наистина, но както много пъти съм се убеждажал, това може да е много подвеждащо......

[krassi_holmz]

Щом като втората част вече ви е ясна, ето горе-долу как ще се докаже първата част.
Ще използвам една много удобна лема:
Нека c, a, b, q са положителни числа и [tex]ab = q^2, q < c[/tex]. Тогава максимумът на израза:
[tex]\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}[/tex]
се достига при [tex]a=b=q[/tex].
Доказателство:
За [tex]a=b=q[/tex] изразът приема вида:
[tex]\frac{2}{c+q}[/tex]
Ако [tex]a = qx, b= \frac{q}{x}[/tex], тогава изразът ще е:
[tex]\frac{1}{c+\frac{q}{x}}+\frac{1}{c+qx}[/tex].
Да разгледаме разликата на тези два израза:
[tex]\frac{2}{c+q}-\frac{1}{c+\frac{q}{x}}-\frac{1}{c+qx} = \frac{(c-q) q (x-1)^2}{(c+q) (q+c x) (c+q x)} > 0[/tex], защото q < c.
Сега, се връщаме на оригиналната задача: ако имаме поне два различни х-а, то можем да намерим два различни х-а с произведение <= 1. Като ги заместим с корена на произвередието им, горната лема ни казва, че общия израз се увеличава. Така за всяка n-торка нееднакви х-ове получаваме това с по-голяма стойност. Значи максимума се достига при равни х-ове.