Логаритмично неравенство

[Spider Iovkov]

Решете неравенството:

[tex]log_{4x^2}x^2.log_{8x^4}x^4\le 1[/tex].

Само да предупредя, че отговорът е ужасен, .

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ккаво му е ужасното? Преминаваме към основа 2 и полагаме [tex]log_2x=t[/tex]
получавасе рутинно дробно неравенство.

[Spider Iovkov]

Да, така направих още в началото, но гадният отговор си остава, .

[ганка симеонова]

[Spider Iovkov]

[tex]DS_{x}: x\in (0; +\infty)/\left{ {\pm \frac{1}{2}; \pm \sqrt[4]{\frac{1}{8}}} \right}[/tex]

[tex]\frac{log_{x}x^2}{log_{x}(4x^2)}.\frac{log_{x}x^4}{log_{x}(8x^4)}\le 1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{2log_{x}x}{log_{x}4+log_{x}x^2}.\frac{4log_{x}x}{log_{x}2^3+4}\le 1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{2}{2log_{x}2+2}.\frac{4}{3log_{x}2+4}\le 1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{4}{(log_{x}2+1)(3log_{x}2+4)}\le 1[/tex], където [tex]log_{x}2=u[/tex].

[tex]\Rightarrow u(3u+7)(u+1)(3u+4)\ge 0[/tex].

Чрез метода на интервалите достигаме до [tex]log_{2}\le -\frac{7}{3} (*); log_{x}2>-\frac{4}{3} (**); log_{x}2<-1 (***)[/tex]. И оттук се получава целият ужас, .

[martosss]