Отново прогресия

[Spider Iovkov]

Задача 1. Разглеждат се геометрични прогресии, при всяка от които първият член е равен на десет, сумата от втория и третия член е равна на цяло число, кратно на четири и непревишаващо хиляда, а частното на прогресиите е по-голямо от единица. Определете частното на всички такива прогресии.

[Реклама]

[Baronov]

Нещо не ме кефи в условието ти. Щом първия член е равен на десетия, частното е > 1 (значи е реално число), то първия член е 0. Но тогава нищо не можеш да кажеш за частното. Може да бъде всяко число.

[Spider Iovkov]

Я пак помисли, . Всъщност се иска да се намери израз (формула) за частното на прогресиите според това, което е дадено.

[Baronov]

Колкото и да мисля, щом първия член е равен на десетия и частното е реално число (различно от 1), то първия член е 0. Освен ако не съм забравил какво е геометрична прогресия.

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

след корекцията вече може и да помислим

[Spider Iovkov]

Вижте сега, .

П. П. Не знам какво ми става, трябваше да напиша условието и с цифри, . Мисля, че сега ще успеете. Извинявайте за неудобството, аз съм виновен, .

[ганка симеонова]

[tex]q\in {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} [/tex]

[Spider Iovkov]

Да обозначим геометричната прогресия с [tex]\left{ {b_{n}} \right}[/tex], а частното — с [tex]q[/tex]. Съгласно условието на задачата ще е изпълнено:

[tex]\begin{tabular}{|l}b_{1}=10, q>1\\b_{2}+b_{3}=4n, n\in Z\\b_{2}+b_{3}\le 1000 \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}b_{1}=10, q>1\\10q+10q^2=4n, n\in Z\\4n\le 1000 \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}b_{1}=10, q>1\\5q^2+5q-2n=0, n\in Z\\ n\le 250 \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}b_{1}=10, q>1\\q_{1,2}=\frac{-5 \pm \sqrt{25+40n}}{10}, n\in Z\\n\le 250 \end{tabular} \Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}b_{1}=10, q>1\\q=\frac{-5+\sqrt{25+40n}}{10}, n\in Z\\n\le 250\end{tabular}[/tex].

Сега остана да изясним при какви значения на [tex]q[/tex] е изпълнено [tex]\frac{-5+\sqrt{25+40n}}{10}>1[/tex]: [tex]\frac{-5+\sqrt{25+40n}}{10}>1 \Leftrightarrow \sqrt{25+40n}>15 \Leftrightarrow 40n>200 \Leftrightarrow n>5[/tex].

Отговор: [tex]q=\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8n}{5}}}{2}, n=6, 7, ..., 250[/tex].

[Spider Iovkov]

Задача 2. Разглеждат се геометрични прогресии при всяка от които третият член е равен на осем, сумата от първия и втория член е равна на цяло число, кратно на пет и непревишаващо петстотин, а частното на прогресиите е по-голямо от нула и по-малко от единица. Определете частното на всички такива прогресии.

[NoThanks]

Тук аналогично на 1вата:
[tex]\begin{tabular}{|l}b_3=8\\b_1+b_2=5k, K \in Z\\5k\le 500\\0<q<1 \end{tabular} [/tex]

[tex] \begin{tabular}{|l}b_1*q^2=8\\b_1+b_1*q=5k, K \in Z\\k\le 100\\0<q<1 \end{tabular} [/tex]


[tex]\begin{tabular}{|l}b_1=8/q^2\\b_1+b_1*q=5k, K \in Z\\k\le 100\\0<q<1 \end{tabular} [/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}b_1=8/q^2\\8/q^2+8/q^2*q=5k, K \in Z\\k\le 100\\0<q<1 \end{tabular} [/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}b_1=8/q^2\\8/q^2+8/q=5k, K \in Z\\k\le 100\\0<q<1 \end{tabular} [/tex]


[tex]\begin{tabular}{|l}b_1=8/q^2\\8+8q=5kq^2, K \in Z\\k\le 100\\0<q<1 \end{tabular} [/tex]


[tex]\begin{tabular}{|l}b_1=8/q^2\\5kq^2 - 8q - 8 = 0, K \in Z\\k\le 100\\0<q<1 \end{tabular} [/tex]

[tex] 5kq^2 - 8q - 8 = 0 => D = 16+40k \ge 0 => k\ge -2/5 , k \in Z => k = 0,1,...,100[/tex]
[tex]=> q_12 = 4\pm \sqrt{16+40k}/5k [/tex]
1) [tex]q = 4+ \sqrt{16+40k} /5k[/tex] , което е по-голямо от 0 за всяко к ( вече установихме че [tex]100\ge k \ge 0[/tex]
=> [tex]q = 4+ \sqrt{16+40k} /5k <1 <=> \sqrt{16+40k}<5k-4 => k=1,2,3...,100[/tex]
След повдигане на квадрат и с метода на интервалите получаваме k = 4,5,...,100
[tex]q = 4 + \sqrt{16+40k}/5k[/tex]
2) [tex]\begin{tabular}{|l}4-\sqrt{16+40k}/5k>0\\ 4-\sqrt{16+40k}/5k <1\end{tabular} [/tex]
Решавайки 1вото получаваме [tex]4>\sqrt{16+40k} <=> k<0[/tex], но за да е положителна дискриминантата на квадратното у-е за q имахме k≥ 0 => този случай отпада
=> [tex]q=4+\sqrt{16+40k}/5k ; k = 4,5,...,100[/tex]