Triugulnik i ne6to drugo

[Mileniumm]

V pravougulen triugulnik e vpisana okrujnost i prez dopirnite i tochki s katetite sa postroeni pravi, usporedni na hipotenuzata. Otsechkite ot tezi pravi, zaklucheni mejdu katetite, sa 15 sm. i 20 sm. Da se nameri hipotenuzata.


Пиши на кирилица!

[Реклама]

[NoThanks]

Нека 1вата права минава през допирната точка N към BC и през M [tex]\in[/tex] AC. MN = 15. Нека 2рата права минава през допирната точка P към AC и през Q[tex]\in[/tex] BC. PQ = 20. OP = PN = CN= CP = r. Нека NQ = x ; MP = y. От Талес имаме, че
[tex]\frac{CM=r-y}{MP=y} = \frac{CN=r}{NQ=x} => rx-xy=ry [/tex]
[tex]=> y(r+x)=rx => y = rx/(r+x)[/tex]. Тогава [tex]CM = r-y = r^2/r+x[/tex]. Сега от Питагор в MNC
=> [tex]225 = (r^2/r+x)^2 + r^2[/tex] [tex]=> 225 = \frac{r^2(2r^2 + 2rx + x^2)}{ r^2 + 2rx + x^2}[/tex] (това след леки преобразувания)
Сега от Питагор в PQC [tex]=> 400 = r^2 + (r+x)^2 => 400 = 2r^2 + 2rx + x^2 [/tex]
Което обаче е числителчт в горния ни израз, a знаменателят на този горен израз представяме като 400 - [tex]r^2[/tex]
[tex]=> 225 = \frac{400*r^2}{400-r^2}[/tex] => [tex]r = \frac{60\sqrt{7}}{7}[/tex]
От Талес имаме, че 15/20 = CN/CQ <=> 3/4 = r/r+x Откъдето намираме [tex] x = 20\sqrt{7}/7[/tex]
Отново от Талес имаме, че 20/AB = r/AC откъдето намираме отношението м/у AB и AC [tex]AB = AC\sqrt{7}/3[/tex]
И аналогично от Талес намираме 15/AB = r/BC, откъдето [tex]AB = BC\sqrt{7}/4 => AC=3/4BC[/tex]
За правоъгълен 3ъгълник знаем, че a+b=c+2r т.е P(abc) = a+b+c = c+2r+c = 2c+2r
=> p = c+r => S(abc) = pr = (c+r)r = AC*BC/2 = 3/4BC*BC/2 = 3/8BC^2
Но от Питагор за ABC Знаем че 9/16BC^2 + BC^2 = c^2
=> BC^2 = 16/25 c^2
=> (c+r)*r = 3/8*16/25c^2
Знаейки r = 60корент от 7/7 намираме c !
Може и да има някоя изчислителна грешка

[martosss]

Човече, много се усложняваш, не ми харесва, ето ти друг поглед

Без ограничение на общността(Б.О.О) нека АС>ВС.
Нека върху АС точките са разположени така: А, К, М, С;
Нека върху ВС точките са разположени така: В, Р, Т, С.
Имаме МТ=15, РК=20, СМ=СР=а.
От талес имаме [tex]\frac{CM}{CK}=\frac{CT}{CP}=\frac{15}{20}\Right \begin{tabular}{|1}CK=\frac{4}{3}a\\CT=\frac{3}{4}a\end{tabular}[/tex]
От Питагоровата теорема за МТС имаме [tex]a^2+\frac{9}{16}a^2=15^2\Right a=12\Right CM=PT=12,\; MK=4,\; CT=9[/tex]
Сега нека окръжността се допира до АВ в точка Н. Означаваме АН=АМ=а, ВН=ВР=б.
от Талес имаме [tex]\frac{AB}{MT}=\frac{AC}{CM}\Leftright\frac{a+b}{\N {15}_5}=\frac{12+a}{\N {12}_4}\Right 4b-a=60\Right a=4b-60[/tex]
Сега От Питагоровата теорема за ABC имаме [tex]AC^2+BC^2=AB^2\Leftright (4b-48 )^2+(b+12)^2=(5b-60)^2\Right b^2-30b+144=0\Right b=24\Right a=60[/tex]
АВ=а+б=24+60=84

[ins-]

Задачата е от сборника, в който задачите са разделени на А,Б,В групи ... през 1996 г. ми се падна на II кръг. Оригиналното решение е много красиво и кратко ... построяват се вписани окръжности в "малките" триъгълници.

Ако искате мога да пусна и останалите задачи ... те са още по-здрави.

[martosss]

ми дай ги де, ще ги пробваме с удоволствие

[ins-]

Съжалявам, че не ползвам tex, но бързам:

1. Решете системата:
y^3+9x^2-27x-27=0
z^3+9y^2-27y-27=0
x^3+9z^2-27z-27=0

2. Задачата с триъгълника...

3. Нека P_1,...,P_100 са 100 последователни прости числа.
Да се определи броя на нулите, на които завършва числото:
А=P_1^100(P_1^100_P_2^99)...(P_1^100...P_100^1).

_ - индекс
^ - степенуване

[martosss]

[ins-]

Умножение е ... навсякъде ... знам как се прави ... просто нямам време. Ако пак не е ясно - довечера ще го напиша с тех.

[martosss]

ако навсякъде е умножение, то зависи дали 2 участва, понеже то е първото просто число, ако участва то, ще участва и 5, а пък нулите се получават само от 2*5, откъдето колкото пъти имаме P_1*P_3, толкова пъти ще имаме 0 Не знам точно как са умножени тези многочлени, но числото n от (P_1*P_3)ⁿ ни дава бройката на нулите

[ins-]

идеята е такава. и системката не е трудна, но ... и не е лесна.

[Saposto_MM]

Записваме първата система във вида:
(y-3)(y²+3y+9)=9x(3-x).
Записваме и другите системи в същия вид и ги умножаваме почленно. Получаваме
(x-3)(y-3)(z-3)(x²+3x+9)(y²+3y+9)(z²+3z+9)=9³xyz(3-x)(3-y)(3-z). Ако някое от неизвестните е равно на 3, то всички са равни на 3. Ако всички са различни от 3 имаме (x²+3x+9)(y²+3y+9)(z²+3z+9)=-9³xyz. Неравенството r²+3r+9≥-9r е вярно за r≥3(-2-√3)Vr≤3(-2+√3). Умножаваме почленно неравенствата приложени за x, y и z и получаваме (x²+3x+9)(y²+3y+9)(z²+3z+9)≥-9³xyz. Решенията на системата са (x,y,z)=(3,3,3),(3(-2-√3),3(-2-√3),3(-2-√3)),(3(-2+√3),3(-2+√3),3(-2-√3)),(3(-2-√3),3(-2+√3),3(-2-√3)),(3(-2-√3),3(2+√3),3(2-√3)) и цикличните пермутации.
Само за интервала [3(-2-√3);3(2-√3)] не съм сигурен дали има други решения. Ако уравненията от системата бяха от вида m³-9n²+27n-27=0, ставаше много хубаво.

[ins-]

Да, но трябва да ни е гадно ... ... а се решава с анализ на квадратна функция ... като сравнявам тези задачи от Общински кръг със сегашните - според мен - нивото пада...

П.С. Това беше тема за 9 клас.

[Baronov]

[ins-]

Странно - това трябва да е било преди 83 година...

Ще ми е интересно да видя една или повече подобни теми.

[Пафнутий]

[Baronov]

Аз ходя на състезания от преди да се родя.
Специално на тая тема не съм ходил. Не си спомням коя година беше. Може и да е било преди 83, но силно се съмнявам.
Първа задача беше комбинаторика за някви точки.
Четвърта е няква алгебра. Някво уравнение. Някви итерации на полином, колко корена имат. Нещо такова. Това май е единствената наистина училищна задача в темата.
Шеста е диофантово без решение. С някви квадрати беше. Решаваше с питагорови тройки или нещо подобно.
Другите не си ги спомням. Сигурно ще може да се намери темата по това.
Това е най-трудната тема давана на общински кръг.

[ins-]

Не знам, но това ми прилича не на общински, а на областен кръг - 25-26.04.1998 - явявал съм се на него...

[Baronov]

Област, община знам ли. Може и това да е. Как ти се видя?

[ins-]

Диофантовото (6) и функцията (3) не бяха за мен ... тогава бях от СОУ (2 часа седмично имах математика и нямах почти никакъв достъп до ресурси) ... иначе като се прибрах останалите 4 бях изкарал на спокойствие ... поне 2 (2 и 4) от задачите се решаваха по повече от 1 начин...