Една не много трудна задачка

[Пафнутий]

1зад. Да се намерят всички цели неотрицателни числа [tex](x,y)[/tex], за които е вярно:
[tex](14y)^x+y^{x+y}=2007[/tex]
(1 задача от Олимпиадата за избиране на отбора на Сингапур за IMO 2007)

[Реклама]

[martosss]

[tex]y^x(14^x+y^y)=2007=223*9[/tex]
Сега ако [tex]y\ge 5[/tex] Н.Р.
Разглеждат се случаите:
[tex]y^x=3,y^x=9,y^x=223,y^x=3*223,y^x=9*223[/tex], откъдето единствено решение е y=3, x=2

[Пафнутий]

Моето решение е различно:
Тъй като при [tex]x=0[/tex] и [tex]y=0[/tex] нямаме решения, то очевидно y- нечетно[tex](1)[/tex]. Понеже [tex]14^3>2007[/tex] , то [tex]x\in[/tex] {[tex]1,2[/tex]}. Разглеждаме следните 2 случая:
1 случай: [tex]x=1[/tex] , тогава уравнението е еквивалентно на:
[tex]14y+y^{y+1}=2007 [/tex]
Понеже трябва [tex]y^{y+1}<2007[/tex] , то [tex]y\in[/tex]{[tex]1,2,3,4[/tex]} и съгласно [tex](1)[/tex], то [tex]y=1[/tex] или [tex]y=3[/tex]. Чрез директна проверка няма решения
2 случай: [tex]x=2[/tex], тогава уравнението е еквивалентно на:
[tex]196y^2+y^{y+2}=2007[/tex]
И понеже [tex]y^{y+2}<2007[/tex] , то [tex]y\in[/tex] {[tex]1,2,3[/tex] } и съгласно (1), то [tex]y=1[/tex] или [tex]y=3[/tex]. Чрез директна проверка получаме единственото решение [tex](2,3)[/tex]

[martosss]

Да, браво, ти по-дъбре си ги ограничил наистина ти е по-добро решението