Регистрирайте сеРегистрирайте се

Да се намери отношението


 
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 12:35 pm    Заглавие: Да се намери отношението

На катета ВС на правоъгълния АВС (C=90, A=50) са взети точките К и L така, че [tex]\angle BAK=\angle CAL = 10^\circ[/tex].
Намерете[tex] \frac {BK}{CL}.[/tex]
Задачата е от олимпиадата (2008) в памет на Шаригин и е дадена за 8-ми клас. Опитайте да намерите решение без тригонометрия (не, че се забранява).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 2:10 pm    Заглавие:

Ето геометрично решение, за което се сетих Smile
Спускаме перпендикуляр BN от В към АК(N е петата на перпендикуляра).
[tex]\Del ABN\approx \Del ALC\Right \frac{BN}{LC}=\frac{AN}{AC}\Right CL=\frac{AC*BN}{AN}[/tex]
[tex]\Del AKC\approx\Del BKN\Right \frac{AC}{BN}=\frac{AK}{BK}\Right BK=\frac{BN*AK}{AC}[/tex].
Oсвен това [tex]\Del AKC\approx \Del BAC\Right AC^2=KC*BC\;\;\; (1)[/tex]
Сега [tex]\frac{BK}{CL}=\frac{\frac{\N {BN}*AK}{AC}}{\frac{AC*\N {BN}}{AN}}=\frac{AN*AK}{AC^2}=\frac{(AK+KN)*AK}{AC^2}=\frac{AK^2-KC^2+KC^2+AK*KN}{AC^2}=[/tex][tex]\red\frac{AK^2-KC^2}{AC^2}+\frac{KC^2+AK*KN}{AC^2}[/tex]
От Питагоровата теорема за АКС имаме [tex]\red AK^2-KC^2=AC^2[/tex]
Освен това [tex]\angle ANB=\angle ACB=90^\circ[/tex], откъдето АВNC е вписан, откъдето от свойството на секущите за AN и BC имаме [tex]\red AK*KN=BK*KC[/tex]
Сега заместваме червеничките в двете червени дроби и получаваме:
[tex]\frac{BK}{CL}=\frac{AC^2}{AC^2}+\frac{KC^2+BK*KC}{AC^2}=1+\frac{KC(KC+BK)}{AC^2}=1+\frac{KC*BC}{AC^2}[/tex]
Сега От (1) [tex]\Right \frac{BK}{CL}=2\Right BK=2CL[/tex] Wink

Надявам се описаните четириъгълници и свойството на окръжността заедно с Питагор да не са проблем за 8-ми клас Confused



отношение.JPG
 Description:
 Големина на файла:  19.21 KB
 Видяна:  1709 пъти(s)

отношение.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
v1rusman
Напреднал


Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318

Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5
гласове: 10

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 3:45 pm    Заглавие:

По принцип Питагорова теорема се учи в 9. клас и то втория срок, но тези, които ходят на състезания я знаят от доста малки - сигурно 4-5. клас.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 3:46 pm    Заглавие:

Ето и моето решение, Very Happy .

От условието е ясно, че [tex]\angle ABC=40^\circ, \angle AKL=50^\circ, \angle LAK=30^\circ, \angle ALK=100^\circ, \angle ALC=80^\circ[/tex]. От [tex]\triangle ABK[/tex] определяме: [tex]\frac{AB}{sin130^\circ}=\frac{BK}{sin10^\circ} \Rightarrow BK=\frac{ABsin10^\circ}{sin130^\circ}[/tex], а от [tex]\triangle ALC[/tex] — [tex]CL=\frac{ACsin10^\circ}{sin80^\circ}[/tex]. Тогава за даденото отношение имаме:

[tex]\frac{BK}{LC}=\frac{ABsin10^\circ}{sin130^\circ}.\frac{sin80^\circ}{ACsin10^\circ}=\frac{ABsin80^\circ}{ACsin130^\circ}[/tex].

Но [tex]AB=\frac{AC}{sin40^\circ}[/tex]. След заместване в отношението се получава [tex]\frac{BK}{LC}=\frac{2cos40^\circ}{sin130^\circ}=\frac{2cos40^\circ}{sin50^\circ}=\frac{2cos40^\circ}{cos40^\circ}=2[/tex].

Отговор: [tex]\frac{BK}{LC}=2[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 3:53 pm    Заглавие:

v1rusman написа:
По принцип Питагорова теорема се учи в 9. клас и то втория срок, но тези, които ходят на състезания я знаят от доста малки - сигурно 4-5. клас.

Аз по принцип знам доказателств с подобни триъгълници, така че щом тях владеят не вярвам и това да е голям проблем Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 5:44 pm    Заглавие:

Правим голям и точен чертеж и намираме BK=2CL. Остава да го докажем. За целта взимаме средата M на BK. Продължаваме AL до пресичане с окръжността (ползвам чертежа на martosss) и нека пресечната точка е Q. Понеже [tex]\angle CAQ=\angle BAN[/tex], то CQ=BN. Достатъчно е да докажем [tex]\Delta BMN\simeq\Delta CLQ[/tex], което е очевидно с оглед на казаното до тук.
Това решение е с материал за 8-ми клас от учебната програма.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 6:16 pm    Заглавие:

v1rusman написа:
По принцип Питагорова теорема се учи в 9. клас и то втория срок, но тези, които ходят на състезания я знаят от доста малки - сигурно 4-5. клас.
Трябва да се отбележи, че това е само в България Wink Ако състезанието е международно, то другите държави няма да се съобразяват с учебната програма в България.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 6:22 pm    Заглавие:

MM написа:
Правим голям и точен чертеж и намираме BK=2CL. Остава да го докажем. За целта взимаме средата M на BK. Продължаваме AL до пресичане с окръжността (ползвам чертежа на martosss) и нека пресечната точка е Q. Понеже [tex]\angle CAQ=\angle BAN[/tex], то CQ=BN. Достатъчно е да докажем [tex]\Delta BMN\simeq\Delta CLQ[/tex], което е очевидно с оглед на казаното до тук.
Това решение е с материал за 8-ми клас от учебната програма.

Нещо не ти разбрах мисълта, нито разбрах как доказваш тия триъгълници че са еднакви... но ако използваш това, че чертежът е точен, то няма да ти помогне особено Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 6:28 pm    Заглавие:

CQNB - равнобедрен трапец.
Естествено, че точния чертеж ще помогне. Така ще намериш колко е отношението.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Sep 05, 2008 6:30 pm    Заглавие:

БРАВО!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Sep 06, 2008 8:54 am    Заглавие:

MM написа:
CQNB - равнобедрен трапец.
Естествено, че точния чертеж ще помогне. Така ще намериш колко е отношението.

Дам, тоя трапец не го бях видял, браво ;]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Sep 06, 2008 12:33 pm    Заглавие:

Moeто решение използва факта, че разстоянието от центъра на описаната до средата на някоя страна на триъгълник е половината от разтоянието от ортоцентъра до срещулоложния на тази страна връх.

Построявам [tex]BN \perp AK[/tex] и продължавам АС и BN докато се пресекат в Т.
Триъгълникът АВТ е равнобедрен. К е ортоцентър, а от AL=BL и L от симетралата ВС имаме, че L е център на описаната около АВТ.



SH_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  9.53 KB
 Видяна:  1582 пъти(s)

SH_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sat Apr 04, 2009 11:03 pm    Заглавие:

Едно решение, което не е мое, но също много ми хареса:

Нека N е средата на АВ. Тогава <LAN = 40, <NCL = 40 => ANLC - вписан и тогава <CAL = 10 и <CNL = 10. Тогава триъгълниците CNL и BAK са подобни, откъдето CL/KB = CN/AB = 1/2.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Mon Apr 06, 2009 7:54 pm    Заглавие:

Ето още едно осмокласно решение Arrow Laughing
[tex]\frac{BK.BL}{CK.CL}=\frac{AB^2}{AC^2 } [/tex] - теорема на Щайнер за изогонално спрегнати чевиани.[tex]AK[/tex] и [tex]AL[/tex] са симетрични спрямо ъглополовящата на [tex]\angle CAB[/tex].
Доказателство:
[tex]\frac{BK}{AB}=\frac{sin\angle BAK}{sin\angle BKA}[/tex] и [tex]\frac{AC}{CK}=\frac{sin\angle AKC}{sin\angle CAK}[/tex] , но [tex]\angle BKA=sin(180^\circ -\angle AKC)=sin\angle AKC[/tex]

[tex]\frac{AC.BK}{AB.CK}=\frac{sin\angle BAK}{sin\angle CAK}[/tex]

Аналогично се доказва , че

[tex]\frac{BL.AC}{AB.CL}=\frac{sin\angle BAL}{sin\angle CAL}[/tex] , но по условие [tex]sin\angle BAK=sin\angle CAL[/tex] и [tex]sin\angle BAL=sin\angle CAK[/tex]

=> [tex]\frac{BK.BL}{CK.CL}=\frac{AB^2}{AC^2}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.