Да се реши x3-12x2-16>0

[Saposto_MM]

Да се реши
x³-12x²-16>0.
Въпросът ми е има ли някакъв рационален начин да се реши това неравенство и ако има какъв е. Май няма, но все пак да питам.

[Реклама]

[gdimkov]

Уравнението [tex]x^3-12x^2-16=0[/tex] има реални коефициенти и е от нечетна степен. Всички такива уравнения (независимо от степента им) имат един реален корен.
Първата производна на тричлена е [tex]3x^2-24x[/tex] се анулира при [tex]x=0,\,x=8[/tex]. Изследването с втората производна показва, че в първата точка имаме максимум, а във втората минимум. Стойността на полинома при х=0 е -16, при х=8 е -144. И тъй като при [tex]x \to +\infty [/tex] стойностите на полинома клонят към [tex] +\infty [/tex] (коефициентът пред най-високата степен е положителен), горното уравнение има само един реален корен и той е по голям от 8. Да го означим с [tex]x_0[/tex]. Това, което можем да кажем засега е, че решението на неравенството е
[tex]x>x_0[/tex]. Остава открит въпросът за намирането на [tex]x_0>8[/tex].
Ако запишем полинома във вида [tex]x^2(x-12)-16[/tex], лесно се вижда, че [tex]12<x_0<13[/tex].

[martosss]

Хм, пробва ли с Кардано, то би трябвало да ти даде един корен.... и в зависимост от него да определиш кога е положително, ама.. не съм много сигурен че ще стане

[ObsCure]

[NoThanks]

[Saposto_MM]

Пробвах с една програма и тя показа [tex]x>12,1091[/tex].
То това неравенство ми трябва за едно диофантово уравнение, така че и приблизителни оценки ще вършат работа. Ще използвам идеята на gdimkov, която ми се струва, че ще свърши работа - [tex]x^{2}\left(x-12\right)>16[/tex].

[gdimkov]

Вместо [tex]x^3-12x^2-16>0[/tex] пишем [tex]x^3-12x^2>16[/tex], което е все едно [tex]x^2(x-12)>16[/tex]. Веднага се вижда, че първото цяло число, което е решение на неравенството е 13. При х=12 получаваме невярно неравенство. Оттам е идеята, че полиномът има (единствена) реална нула между 12 и 13.
P.S. Формулите на Кардано са трудно приложима тежка артилерия. Може на око да виждате три реални корена, а формулите да ви ги дават в комплексен вид, зад който са скрити реалните корени.