интегралче

[drago_prd]

Някой може ли да ми подскаже как да започна?

[tex]\int\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}[/tex]

[Реклама]

[Jorkata]

С универсалното полагане [tex]u=tg\frac{x}{2} ,cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}, sinx=\frac{2u}{1+u^2}, dx=\frac{2}{1+u^2}du[/tex]

[r2d2]

[tex]a \sin x + b \cos x = \sqrt {a^2+b^2} ( \frac {a}{sqrt {a^2+b^2}} \sin x+ \frac {b} {\sqrt {a^2+b^2}} \cos x)=\sqrt {a^2+b^2} \sin (x + \mu)[/tex]

Нарича се метод на допълнителния ъгъл.

[drago_prd]

Това [tex]\mu[/tex], каква роля играе. Някаква константа ли е?

Ето и моето решение:

[tex]\int\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}=\\=\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\mu)}=\\=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{\sin(x+\mu)}=\\=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{2\sin\left(\frac{x+\mu}{2}\right)\cos\left(\frac{x+\mu}{2}\right)}=\\=\frac{\cancel{2}}{\cancel{2}\sqrt{a^2+b^2}}\huge\int\frac{\large\frac{1}{cos^2\left(\frac{x+\mu}{2}\right)}d\left(\frac{x+\mu}{2}\right)}{\large\frac{\sin\left(\frac{x+\mu}{2}\right)\cancel{\cos\left(\frac{x+\mu}{2}\right)}}{\cos^{\cancel{2}}{\left(\frac{x+\mu}{2}\right)}}}\large=\\=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{d\tan{\left(\frac{x+m}{2}\right)}}{\tan{\left(\frac{x+m}{2}\right)}}=\\=\frac{\ln\left(\tan{\left(\frac{x+m}{2}\right)}\right)}{\sqrt{a^2+b^2}}+C[/tex]

Благодаря ви за помощта!

[r2d2]

Понеже числата [tex]A=\frac {a}{sqrt {a^2+b^2}} \;B=\frac {b} {\sqrt {a^2+b^2}}[/tex] са такива, че [tex]A^2+B^2=1[/tex], то А сме кръстили с [tex] \cos \mu \; a\; B \; \sin \mu [/tex]

[drago_prd]

Разбрах го това [tex]\mu[/tex]

Благодаря отново!