Максимум

[Saposto_MM]

Нека с [tex]m_{h}[/tex] означаваме сбора на произведенията по h измежду неотрицателните числа [tex]x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}[/tex]. Ако [tex]\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=n[/tex], намерете най-голямата стойност на [tex]\sum_{i=1}^{n}m_{i}[/tex].

[Реклама]

[martosss]

[Saposto_MM]

Сбор на произведенията по h. [tex]m_{3}[/tex] е равно на сбора на произведенията по 3 или [tex]x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\cdots+x_{n-2}x_{n-1}x_{n}[/tex].

[martosss]

тоест [tex]m_1=1*(x_1+x_2+\cdots +x_n)[/tex] ? И съответно [tex]m_n=n(x_1x_2x_3\cdots x_n)[/tex] ?

Я най добре ми напиши как изглежда [tex]m_h[/tex] в общия случай - със суми там и произведения... примерно [tex]m_2=2\sum_{i=1}^{n-1 }x_ix_{i+1} =2(x_1x_2+x_2x_3+\cdots x_{n-1}x_n)[/tex] или m е всички комбинации? а ми може ли да има на степен, примерно [tex]x_1^2x_2[/tex] ? До сега като гледам не може

[JusTok]

С m_h са означени симетрични полиноми.

[martosss]

да, разбрах какво е, ще помисля

[Baronov]

Имаме : [tex]\sum_{}^{ } m_{h}= 1+(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})[/tex], т.е. търсим макс на :
[tex](1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})[/tex]. От тук с неравенства между среднте лесно се вижда, че максимумът се достига при равни числа.