Регистрирайте сеРегистрирайте се

Делимост


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Sep 03, 2008 12:40 pm    Заглавие: Делимост

Да се докаже, че за всяко естествено [tex]k>1[/tex] и [tex]n\in N[/tex] , числото
[tex]2^n+1[/tex] не се дели на [tex]2^k-1[/tex]
ПП Задачата я измислихме с ММ като обобщение на една друга задача Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Sep 03, 2008 1:01 pm    Заглавие:

хм.. я кажи при n=3, k=2 какво става?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Wed Sep 03, 2008 1:07 pm    Заглавие:

n=5; k=2 Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Wed Sep 03, 2008 1:10 pm    Заглавие:

Трябва ти к>2.
Нека n = ak+b, където b<k. Да означим [tex]N=2^{k}-1[/tex]. Сега по модул N имаме: [tex]2^{n}=2^{ak+b}=2^{b}.(2^{k})^{a}=2^{b}.[/tex].
Тоест N дели [tex]2^{b}+1<2^{k}+1<2N[/tex], при N>2. Тоест [tex]2^{b}+1=N[/tex]. И от тук получаваме к=2, b=1, което е противоречие с к>2.

P.S. Стига сте давали контрапримери с к=2. Всяка двойка (1+2к, 2) очевидно е контрапример.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Wed Sep 03, 2008 1:22 pm    Заглавие:

Ето ви още една задача в тази връзка.
Да се докаже, че ако n>1, то [tex]2^{n}-1[/tex] не се дели на n.
Пробвайте я.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Sep 04, 2008 9:35 am    Заглавие:

Baronov написа:
Трябва ти к>2.
Нека n = ak+b, където b<k. Да означим [tex]N=2^{k}-1[/tex]. Сега по модул N имаме: [tex]2^{n}=2^{ak+b}=2^{b}.(2^{k})^{a}=2^{b}.[/tex].
Тоест N дели [tex]2^{b}+1<2^{k}+1<2N[/tex], при N>2. Тоест [tex]2^{b}+1=N[/tex]. И от тук получаваме к=2, b=1, което е противоречие с к>2.

P.S. Стига сте давали контрапримери с к=2. Всяка двойка (1+2к, 2) очевидно е контрапример.
Доста добро решение Wink Наистина трябва k>2 Решението ни с ММ е следното:
Очевидно [tex]n>k[/tex] и [tex]2^k\equiv1(mod (2^k-1)) \Rightarrow 2^{s.k+e}\equiv 2^e (mod (2^k-1))(1)[/tex]. Тогава достатъчно е да се разгледат всички [tex]e\in[0;k-1] [/tex]
1 случай: За всяко [tex]n=sk+e[/tex] , [tex]e\in[1;k-1],k>2 [/tex] имаме [tex]2^e+1<2^n-1[/tex] и съгласно [tex](1)[/tex] - няма решение
2 случай: [tex]n=sk\Rightarrow e=0 \Rightarrow 1+1<2^n-1[/tex], понеже [tex]n\ge k>2 [/tex] и съгласно [tex](1)[/tex]- няма решение


Последната промяна е направена от Пафнутий на Thu Sep 04, 2008 2:46 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Sep 04, 2008 10:44 am    Заглавие:

да ти кажа и моите разсъждения се приближаваха до тези на Баронов и неговото решение ми изглежда много по-достъпно Very Happy Браво, Баронов Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
JusTok
Редовен


Регистриран на: 26 Jul 2007
Мнения: 117
Местожителство: Варна
Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3
гласове: 24

МнениеПуснато на: Mon Dec 01, 2008 9:10 pm    Заглавие:

Baronov написа:
Ето ви още една задача в тази връзка.
Да се докаже, че ако n>1, то [tex]2^{n}-1[/tex] не се дели на n.
Пробвайте я.

Допускаме че такова n съществува и p е най-малкия му прост делител, n нечетно => p нечетно. От малката теорема на Ферма => [tex]2^{p-1}-1\equiv 0(mod p)[/tex]. Нека k е показателят на 2 по модул p. => k<p и k|n. Но това противоречи с избора на p.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
broniran_potnik
Начинаещ


Регистриран на: 29 Nov 2008
Мнения: 48

Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Dec 01, 2008 9:42 pm    Заглавие:

Добро решение Wink Получаваш репутация от мене Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.