Делимост

[Пафнутий]

Да се докаже, че за всяко естествено [tex]k>1[/tex] и [tex]n\in N[/tex] , числото
[tex]2^n+1[/tex] не се дели на [tex]2^k-1[/tex]
ПП Задачата я измислихме с ММ като обобщение на една друга задача

[Реклама]

[martosss]

хм.. я кажи при n=3, k=2 какво става?

[ганка симеонова]

n=5; k=2

[Baronov]

Трябва ти к>2.
Нека n = ak+b, където b<k. Да означим [tex]N=2^{k}-1[/tex]. Сега по модул N имаме: [tex]2^{n}=2^{ak+b}=2^{b}.(2^{k})^{a}=2^{b}.[/tex].
Тоест N дели [tex]2^{b}+1<2^{k}+1<2N[/tex], при N>2. Тоест [tex]2^{b}+1=N[/tex]. И от тук получаваме к=2, b=1, което е противоречие с к>2.

P.S. Стига сте давали контрапримери с к=2. Всяка двойка (1+2к, 2) очевидно е контрапример.

[Baronov]

Ето ви още една задача в тази връзка.
Да се докаже, че ако n>1, то [tex]2^{n}-1[/tex] не се дели на n.
Пробвайте я.

[Пафнутий]

[martosss]

да ти кажа и моите разсъждения се приближаваха до тези на Баронов и неговото решение ми изглежда много по-достъпно Браво, Баронов

[JusTok]

[broniran_potnik]

Добро решение Получаваш репутация от мене