Групи

[ганка симеонова]

От нечетните числа са образувани групите
[tex](1); (3,5); (7,9,11); (13,15,17,19), .... [/tex], при което n-тата група
съдържа n числа. Да се докаже, че сумата на числата в n-тата група е равна на [tex]n^3 [/tex]

[Реклама]

[Saposto_MM]

Първото число в n-тата група е n²-n+1. k-тото число в n-тата група е равно на n²-n+2k-1. Събираме всички числа в n-тата група и получаваме n*n²-n*n+1+3+...+(2n-1)=n³-n²+n²=n³

[martosss]

Нека намерим сумата на числата до последното число от n-тата група и сумата на числата до последното число от n-1-вата група, след което вадим двете суми, при което получаваме търсената сума.
Първо нека забележим, че 1-вата група има 1 число, 2-рата група - 2 числа и т. н., тоест броят на числата до n-тата група включително ще е [tex]1+2+3+\cdots + n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]. - Индукция
Освен това нека забележим, че сумата на всички нечетни числа до n-тото число е [tex]n^2[/tex] - Индукция
Откъдето намираме [tex]S_1-S_2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2-\left(\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}\right)^2=\frac{(n^2+n)^2-(n^2-n)^2}{4}=\frac{(n^2+n-n^2+n)(n^2+n+n^2-n)}{4}=\frac{2n*2n^2}{4}=n^3[/tex]

ММ, браво за бързината, ама гледай да обясняваш повечко, защото нищо не разбрах от къде първото число в n-тата група е ... и к-тото число е ... ?