Бройна система

[Пафнутий]

Преди малко ми дойде на акъла следната задача, която в последствие и доказах.Със сигурност е доста добре известен факт, но като цяло задачата е хубава.
Да се докаже, че може да се направи бройна система с основа всяко естествено число по-голямо от 1.
ПП За по-незапознатите бройна система с основа [tex]x[/tex] се представя като полином с цели коефициенти [tex]P(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}[/tex] , където [tex]0\le a_{i}\le x-1 [/tex]. Степента на полинома е равна на броя цифри, използвани при записа в бройна система с основа [tex]x[/tex].

[Реклама]

[martosss]

е ми може разбира се Избираш си основа на системата n, при което си слагаш n на брой цифри, примерно [tex]0, a_1,a_2,\cdots a_{n-1}[/tex] и като искаш да напишеш някое число си използваш тази система, примерно числото n+3 ще напишеш като [tex]\overline {a_1 a_3}[/tex]

[Пафнутий]

Честно казано-нищо не разбрах. Дай строго доказателство

[martosss]

е ми всяко число(цяло имам предвид, пък и дробните ще им се намери цаката) може да бъде представено като [tex]n^k*a_0+n^{k-1}*a_1+\cdots +n^0*a_{k}[/tex], където n ти е основата на бройната система, k ти е броят на цифрите на числото в дадената система(примерно в десет. при число 1245 имаме k=4), и [tex]a_i,i\in (0,\: ;\: k)[/tex] са ти коефициентите

[Пафнутий]

[martosss]

е ми то е очевидно бе примерно числата до n имаш директно цифра, за числата от n до 2n-1 имаш че са [tex]\overline{n_1 n_i}[/tex], където n_1 ти е все едно 1, а пък n_i ти е исканото число, примерно 13 в 8-чна ще е [tex]7+6\Right \overline{\underbrace{1}_{n_1}\underbrace{6}_{n_i}}[/tex], като 1 съответства на 7, а 6 съответства на 6 се едно [tex]13 =10^1*1+10^0*3[/tex]

Добре, нека ни е дадено едно число n и искаме да го превърнем в k-ична бройна система(числото n ни е в 10-тична). ето как става превръщането:
делим n на k докато стигнем до 1 и записваме остатъците в обратен ред, при което сме получили исканото число

[v1rusman]

Не знам ти как си разсъждавал, но друго доказателство можеш да намериш в някой учебник по информатика сигурно. Може ли да напишеш решението си да го видим все пак ?

[martosss]

По този начин числото образно казано се "разделя" на "части", като всяка част представлява един разред, тоест всяка част се представлява от една цифра, примерно 2537 се разделя на 4 части - 2000 + 500 + 30 + 7, това се прави аналогично ако си в друга бройна система. В момента как го правим - взимаме числото и го делим на 10, като последният остатък е 2, тоест имаме 10^4*2, после от числото изваждаме 2000, понеже тази част вече сме я отделили и повтаряме процедурата, като този път отделяме 500 и т. н. Понеже сме в десетична, ние сме свикнали и всичко това го правим на ум, ако сме в двуична обаче като ни дадат числото 101101 примерно и ще гледаме като теле в железница. Това е така, защото ние не знаем(или поне повечето от нас не са свикналида разпознават) всяка цифра от 101101 на кое число от десетичната бройна система отговаря, за това трябва много пъти да делим на 2, за да ги отделим, и то в обратен ред при това, в случая това число 101101 е 32*1+16*0+8*1+4*1+2*0+1*1=45, по същият начин става и във всяка една друга бройна система, само че сега ако от 45 искаме да минем към двуичен вид ние не знаем коя цифра да отделим и коя не, за това тръгваме от най-старшият раздел, тоест делим, делим и в зависимост от това колко пъти сме разделили взимаме по-голяма "част", тоест цифрата е по-голям разред

[Baronov]

[martosss]

е ми всяко число число може да се представи по единствен начин както по-горе написах, ама ... това бих го казал като факт, никаква идея си нямам как да го докажа, дори от къде да тръгне доказателството... може би да предположим че има две числа с еднакъв запис и да кажем "Е, да, ама те са равни тия числа"

[Baronov]

Единственост означава, че не можеш да представиш някое си число по 2 начина. Пробвай да го докажеш, не е трудно. Допусни, че някое число се представя по 2 начина и ....

[Пафнутий]

[krassi_holmz]

ми няма по-просто от това да ползваш ограниченията за коефициентите и индукция по n.

[Пафнутий]