Точен квадрат

[Пафнутий]

Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които [tex]2^8+2^{11}+2^n[/tex] е точен квадрат.

[Реклама]

[v1rusman]

Тази задача съм я виждал за ЗМС само че във вида [tex]2^4+2^7+2^n[/tex].

Преобразуваме така: [tex]2^8+2^{11}+2^n=2^8(1+2^3+2^{n-8})=2^8(9+2^{n-8})[/tex].
Очевидно [tex]2^8=(2^4)^2[/tex], т.е търсим онези числа [tex]n[/tex], за които [tex](9+2^{n-8})[/tex] е точен квадрат. Тогава нека за [tex]x\in N[/tex]:

[tex]9+2^{n-8}=x^2 => 2^{n-8}=(x-3)(x+3)[/tex]. Сега нека за някакви числа [tex]a,b\in N; a+b = n -8;b>a[/tex] имаме[tex]2^a=x-3, 2^b=x+3[/tex]. Тогава след като извадим първото от второто уравнение получаваме [tex]2^b-2^a=6=>2^a(2^{b-a}-1)=6[/tex]

[tex]2^a(2^{b-a}-1)=2.3[/tex]. Очевидно [tex]3[/tex] е нечетно число и трябва да дели [tex](2^{b-a}-1)[/tex]=>[tex]2^a=2=>a=1=>b=3[/tex]. Тогава от [tex]a,b\in N; a+b = n -8;b>a[/tex] => [tex]n=12[/tex].

Поправка: Да, martosss, сбъркал съм. Поправих си решението. Имал съм предвид [tex]b-a=2[/tex].

[martosss]

[Пафнутий]

v1rusman, решението ти не е пълно, защото ти си допуснал, че [tex]n\ge8[/tex] и не си разгледал при [tex]n<8 [/tex]
Авторското решение е следното:
[tex]2^8+2^{11}+2^n=t^2[/tex]
Ще използваме [tex]2^8+2^{11}=2^8(1+2^3)=2^8.3^2=48^2[/tex]. Така уравнението е еквивалентно на:
[tex]2^n=(t- 48 )(t+48 )[/tex]
Нека [tex]k+l=n[/tex] и [tex]k<l[/tex], тогава имаме следната система:
[tex]\begin{tabular}{|l}2^k=t-48\\2^l=t+48 \end{tabular}\Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}2^l-2^k=96\\k+l=n \end{tabular}\Leftrightarrow\begin{tabular}{|l}2^k(2^{l-k}-1)=2^5.3\\k+l=n \end{tabular}\Leftrightarrow \begin{tabular}{|l}2^k=2^5\\2^{l-k}-1=3\\k+l=n \end{tabular}[/tex] , откъдето [tex]k=5, l=7 \Rightarrow n=12[/tex]

[r2d2]

Ето още една подобна задача: Намерете n, ако числото
[tex] 2^{200} - 2^{192}\cdot 31 + 2^n[/tex]
е точен квадрат.

[v1rusman]

@stanislav atanasov: Къде в това авторско решение се разглежда случая, когато [tex]n<8[/tex] ?

[Пафнутий]

[r2d2]

Що не остави някой друг да я реши?!

[martosss]

е, айде сега, и аз получих отговора на stanislav - n=198, то ако имаш желание няма да гледаш чуждите писания и ще си я решиш като на олимпиада Пък и да си помогнеш малко - то не пречи - и на олимпиади се преписва

[dim]

[tex]2^{200}-2^{192}.31+2^n=t^2 [/tex]

[tex]2^{200}-2^{192}.31+2^n=2^{192}.(2^8-31)+2^n=(2^{96}.15)^2+2^n=t^2[/tex]

[tex]2^n=t^2-(2^{96}.15)^2=(t-2^{96}.15).(t+2^{96}.15), 2^a.2^b=(t-2^{96}.15),(t+2^{96}.15), a>b, 2^a=t+2^{96}.15,2^b=t-2^{96}.15,2^b(2^{a-b}-1)=2^{97}.15 [/tex]

[tex]b=97[/tex]
[tex]2^{a-b}-1=15,2^{a-b}=2^4,a-b=4[/tex]
[tex]a=101[/tex]

[tex]n=a+b=198[/tex]