 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
  
гласове: 298
|
 Пуснато на: Mon Sep 01, 2008 5:15 pm Заглавие: система* |
|
|
В духа на системата, която предложи r2d2:
да се намерят всички реални решения на системата:
[tex] \frac{1}{ 2}(x_1+\frac{a}{ x_1})=x_2 [/tex]
[tex] \frac{1}{ 2}(x_2+\frac{a}{ x_2})=x_3 [/tex]
.....
[tex]\frac{1}{ 2}(x_n+\frac{a}{ x_n})=x_1 [/tex]
[tex](a\ge 0) [/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Mon Sep 01, 2008 11:52 pm Заглавие: Re: система* |
|
|
| ганка симеонова написа: | В духа на системата, която предложи r2d2:
да се намерят всички реални решения на системата:
[tex] \frac{1}{ 2}(x_1+\frac{a}{ x_1})=x_2 [/tex]
[tex] \frac{1}{ 2}(x_2+\frac{a}{ x_2})=x_3 [/tex]
.....
[tex]\frac{1}{ 2}(x_n+\frac{a}{ x_n})=x_1 [/tex]
[tex](a\ge 0) [/tex] |
Нека умножим по 2 всички уравнения и след това ги съберем почленно, откъдето ще получим:
[tex]x_1+x_2+\cdots x_n +\frac{a}{x_1}+\frac{a}{x_2}+\cdots \frac{a}{x_n}=2(x_1+x_2+\cdots x_n)[/tex]
Сега след като прехвърлим всичко от дясната страна получаваме:
[tex]\left(x_1-\frac{a}{x_1}\right)+\left(x_2-\frac{a}{x_2}\right)+\cdots + \left(x_n-\frac{a}{x_n}\right)=0\;\;\;\;\left(*\right)[/tex]
Нека сега разгледаме първото уравнение от системата:
[tex]x_1+\frac{a}{x_1}=2x_2\;\;\;\;*x_1\ne 0\\ x_1^2-2x_1x_2+a=0[/tex]
Нека сега разгледаме у-ето като квадратно спрямо [tex]x_1[/tex]:
[tex]D=4x_2^2-4a\ge 0\Right x_2\in \left(-\infty \: ;\: -\sqrt{a}\right]\cup \left[\sqrt{a}\: ;\: \infty )[/tex]
Аналогично [tex]x_i\in \left(-\infty \: ;\: -\sqrt{a}\right]\cup \left[\sqrt{a}\: ;\: \infty )[/tex], където [tex]i\in [1\: ;\: n][/tex]
Нека [tex]x_1\in\left[\sqrt{a}\: ;\: \infty \right)[/tex] От първото у-е [tex]\Right x_2>0[/tex], тъй като от лявата страна имаме само положителни числа [tex]\Right x_2\in \left[\sqrt{a}\: ;\: \infty \right)[/tex]Аналогично при [tex]x_1\in \left[\sqrt{a}\: ;\: \infty \right)\Right x_i\in \left[\sqrt{a}\: ;\: \infty \right)[/tex]
Нека сега повдигнем първото у-е на втора степен, като и двете страни са положителни:
[tex]\left(x_1+\frac{a}{x_1}\right)^2=4x_2^2\\\left(x_1-\frac{a}{x_1}\right)^2=4(x_2^2-a)\Right x_1-\frac{a}{x_1}=2\sqrt{x_2^2-a}[/tex]
Аналогично [tex]x_i-\frac{a}{x_i}=2\sqrt{x_{i+1}^2-a}[/tex], където [tex]x_i\in\left[\sqrt{a}\: ;\: \infty \right)[/tex]
Нека сега заместим в [tex]\left(*\right)[/tex]:
[tex]2\sqrt{x_2^2-a}+2\sqrt{x_3^2-a}+\cdots +2\sqrt{x_n^2-a}+2\sqrt{x_1^2-a}=0\Right x_1=x_2=\cdots =x_n=\sqrt{a}[/tex] при [tex]a\ne 0[/tex]
При [tex]x_1\in2\sqrt{x_2^2-a}[/tex] по аналогичен начин се достига до [tex]x_1=x_2=\cdots =x_n=-\sqrt{a}[/tex], като [tex]a\ne 0[/tex]. 
Много мъка докато го измъдря, сигурно има и по-лесно преобразувание  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Tue Sep 02, 2008 2:43 pm Заглавие: |
|
|
Очевидно [tex]x_k>0 [/tex]или [tex]x_k<0; k=1,....,n [/tex]
Нека [tex]x_k>0 =>x_1=\frac{1}{ 2}(x_n+\frac{a}{ x_n})\ge \sqrt{a} =>x_1^2\ge a =>x_1\ge \frac{a}{x_1 } [/tex]
[tex]=>x_2=\frac{1}{ 2}(x_1+\frac{a}{x_1 })\le x_1 [/tex]
аналогично получаваме, че [tex]x_1\le x_n\le x_{n-1}\le ....x_2\le x_1 [/tex]=> навсякъде тък трябва да има знак за равенство=> [tex]x_1=...x_n=\sqrt{a} [/tex]
При отрицателни [tex]x_k [/tex] получаваме, че [tex]x_1=...x_n=-\sqrt{a} [/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
