система

[ганка симеонова]

[tex]x^2+x=y+1 [/tex]
[tex]y^2+y=z+1 [/tex]
[tex]z^2+z=x+1 [/tex]

[Реклама]

[martosss]

Само не знам това последното как да го докажа че е положително винаги

[r2d2]

martoss, не се сърди, ама най-тъпият да се решават системи е чрез заместване. Странно защо, точно този начин е най-застъпен в у-ще!

Реши същата система ама с n неизвестни и n - уравнения:
[tex]x_1^2+x_1=x_2+1[/tex]
....
....
[tex]x_n^2+x_n=x_1+1[/tex]

И край на мързела: или ще постваш решения или тез картинки ще ги трия !

[NoThanks]

За системата на ганка_симеонова:
събираме 3те у-я и получаваме:
x^2 + y^2 + z^2 = y+1+z+1+x+1-x-y-z
=> x^2 + y^2 + z^2 = 3 (1)
Сега събираме вторите 2:
y^2 + y + z^2 + z = z+1+x+1
=> y^2 + z^2 = x+2-y
Сега заместваме получения израз за y^2 + z^2 в (1)
=> x^2 + x+2-y = 3
Прехвърляме 3ката и получаваме
x^2 +x -y -1 =0 <=> x^2 + x - (y+1) = 0
Обаче от началната система имаме
x^2 + x = y+1
едит: Опа, и получаваме 0=0, а не това което бях написал. Сега пак ще помисля

[Saposto_MM]

Решението ти NoThanks е грешно. Открий грешката си.
Събираме почленно уравненията и получаваме x²+y²+z²=3(*). Сега умножаваме първото със z, второто с x и третото с y. Отново събираме почленно и получаваме x²z+y²x+z²y=x+y+z. Но от неравенството на Чебишев и от (*) 3(x²z+y²x+z²y)≥(x+y+z)(x²+y²+z²)=3(x+z+y). Равенство при x=y=z.
Системата, която си написал r2d2 се решава по същия начин.

[martosss]

Опитах се с някаква хитринка и преобразувание, ама не намерих начин и за това тръгнах дърварската... просто понякога е трудно да се досетиш как се решаваи за това това ми се стори като най-лесния начин

[Пафнутий]

[NoThanks]

А ще може ли някой да пусне неравенството на Чебишев в общия му вид. Благодаря!

[ObsCure]

[r2d2]

Събираме тритe у-ния и получаваме: [tex]x^2+y^2+z^2=3[/tex]
После ги умножаваме: [tex]x(x+1)y(y+1)z(z+1)=(x+1)(y+1)(z+1).[/tex]
Ако някое от неизвестните е -1 получаваме, че и другите са -1. [tex](x,y,z)=(-1,-1,-1)[/tex]
Ако никое не е = -1 имаме[tex] xyz=1.[/tex]

От[tex] \frac {x^2+y^2+z^2}{3} \ge \sqrt[3]{x^2y^2z^2}=1[/tex], получаваме, че [tex]x^2=y^2=z^2=1[/tex] и съответно другото решение [tex](x,y,z)=(1,1,1)[/tex]

[Пафнутий]