две уравнения- проверка

[milen]

Здравейте ,
опитах се да реша две уравнения ,но не знам дали действията ми са правилни и дали отговорите които съм получил са правилни.
Ето първото:
y^"+3y^'-4y=e^5x
корените са λ₁=1 , λ₂=-4
характеристичното у-е е
y(x)= C₁e^x+C₂e^-4x

f(x)=e^5x
Y=Ae^5x
Y^'=5e^5x
Y^"=25^5x

25Ae^5x+15Ae^5x-4Ae^5x=e^5x

36Ae^5x=e^5x
A= [tex]\frac{1}{ 36} [/tex]
Y=[tex]\frac{1}{ 36} [/tex]e^5x

y(x)= C₁e^x+C₂e^-4x+[tex]\frac{1}{ 36} [/tex]e^5x


Ето второто:
y^"-4y^'+3y=e^3x
корените са λ₁=1 , λ₂=3
характеристичното у-е е
y(x)= C₁e^x+C₂e^3x

f(x)=e^3x
Y=Ae^3x
Y^'=3e^3x
Y^"=9^3x

9Ae^3x-12Ae^3x+3Ae^3x=e^3x

Ae^3x=e^3x
A=1
Y=e^3x

y(x)= C₁e^x+C₂e^3x+e^3x

Това са двете уравнения- моля някой да ги провери и да каже дали са правилно решени.
Благодарско!

[Реклама]

[ганка симеонова]

Двете уравнения са еднотипни. Да, вярно си решавал

[ганка симеонова]

Ето ти още едно, което обаче не е със специална дясна част. Можеш, да го решиш с вариране на константите
[tex]y''-2y'+y=\frac{e^x}{ e^x+1} +sinx [/tex]

[gdimkov]

Най-напред ще направя една терминологична забележка. Това, което milen нарича характеристично уравнение е решението на хомогенното уравнение. Двете числа λ₁ и λ₂ са решения на характеристичното уравнение. (Няча да го пиша.)
Когато човек решава едно уравнение не е необходимо да пита дали го е решил правилно. Просто прави проверка и вижда, че не е получил решението на второто уравнение. Просто в израза
[tex]9Ae^{3x}-12Ae^{3x}+3Ae^{3x}=e^{3x}[/tex]
лявата страна е равна на нула.
Да предположим, чe ни е дадено уравнението

[tex]y"-4y'+3y=e^{kx}[/tex].

Лесно се вижда, че то има решение при [tex]k\ne 1, 3[/tex]. Оттук можем да заключим, че в условието има някаква грешка. Действително ли е така?

[garion]

[gdimkov]

Напиши решението.

[garion]

За второто търсим общо решение от вида [tex]Y=ax^pe^{3x}[/tex], в случая p=1. Тогава
[tex]Y'=ae^{3x}+ax3e^{3x}=ae^{3x}(3x+1)[/tex]
[tex]Y''=3ae^{3x}(3x+1)+ae^{3x}3=ae^{3x}(9x+6)[/tex]
[tex]Y''-4Y'+3Y=e^{3x}[/tex] ясно е че [tex]e^{3x}[/tex] се съкращава навсякъде
[tex]a(9x+6) -4a(3x+1)+3ax=1[/tex] след разкриване на скобите навсякъде където има х се маха и остава
[tex]6a-4a=1[/tex]
[tex]a=\frac{1}{2}[/tex] от където
[tex]Y=\frac{1}{2}xe^{3x}[/tex]