Неравенство

[ObsCure]

Докажете,че

[tex]|\sqrt{a_^{2}+b_^{2}+c_^{2}}-\sqrt{a_^{2}+b_{1}^2+c_{1}^2}|\le|b-b_{1}|+|c-c_{1}|[/tex]

където [tex]a,b,c,b_{1},c_{1}[/tex] са реални числа.

[Реклама]

[Saposto_MM]

[tex]\left|\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right|\le \left|a-x\right|+\left|b-y\right|+\left|c-z\right| \Leftrightarrow\\\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}\le \sqrt{(a-x)^{2}}+sqrt{(b-y)^{2}}+sqrt{(c-z)^{2}}[/tex]
Но
[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\left(ax+by+cz\right)}\le \sqrt{\left(a-x\right)^{2}}+sqrt{\left(b-y\right)^{2}}+sqrt{\left(c-z\right)^{2}}[/tex]
И
[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}\le \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\left(ax+by+cz\right)}[/tex],
което следва от неравенството на Коши-Бунейковски-Шварц. Равенство при [tex]a=x,b=y,c=z[/tex].
Нека [tex]a=a,b=b,c=c,a_{1}=a,b_{1}=y,c_{1}=z[/tex] и неравенството следва. Равенство при [tex]b=b_{1},c=c_{1}[/tex]. Сигурно има и някакво обобщение, но за него ще мисля утре, защото е късно.

[Saposto_MM]

Обобщение:
[tex]\left|\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}-\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}\right|\le \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}-b_{i}\right|[/tex] за реални [tex]a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}[/tex] и [tex]b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}[/tex].