Определен интеграл

[milen]

Моля за помощ за този определен Интеграл(е помоща е нужна на мен- на интеграла не му трябва )

[tex]\int_{0}^{ 2} \frac{3x+1}{x^{2}+x+1} dx[/tex]

Благодарско на тези които ще помогнат!

[Реклама]

[ганка симеонова]

Когато в числител имаш линейна ф-я, а в знаменател- квадраатен тричлен с отри цателна дискрининанта,
идеята е в числител да отделиш производната на знаменателя, а именно [tex]2x+1[/tex]
и после да разбиеш на два интеграла
[tex]\frac{3}{ 2} \int_{}^{ }\frac{(2x+1)-\frac{1}{ 3} }{x^2+x+1 }dx =\frac{3}{2 }\int_{}^{ } \frac{2x+1}{x^2+x+1 }dx-\frac{1}{ 2} \int_{}^{ } \frac{dx}{x^2+x+1 }=\frac{3}{2 }I_1-\frac{1}{2 } I_2 [/tex]

[tex]I_1=\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1 }=ln(x^2+x+1) [/tex]

[tex]I_2=\frac{dx}{(x+\frac{1}{ 4})^2+\frac{3}{ 4} } =\frac{4}{3 }\int_{}^{ } \frac{dx} {(\frac{2}{ \sqrt{3}}(x+\frac{1}{4 }))^2 +1} =\frac{2}{\sqrt{3} }\int_{}^{ } \frac{d\frac{2}{ \sqrt{3}}(x+\frac{1}{4 }) } {(\frac{2}{ \sqrt{3}}(x+\frac{1}{4 }))^2 +1} =\frac{2}{\sqrt{3} }arctg\frac{2}{\sqrt{3} }(x+\frac{1}{ 4}) [/tex]

Остава да сглобиш нещата и да сметнеш в горна и долна граници.

[milen]

Благодарско!
Радвам се че се намери човек да помогне.
Ще се опитам да довърша задачата сам- ако не успея пак ще попитам.
Дотук ми се изясни-само не разбрах защо след като в числителя е [tex]-\frac{1}{ 3} [/tex] после пред интеграла извеждаме [tex]\frac{1}{2 }[/tex]

[ганка симеонова]

[tex]\frac{3}{2 }.\frac{1}{3 }=\frac{1}{ 2} [/tex]

[milen]

Благодаря

[milen]

Със ваша помощ успях да дореша горния интеграл.
Обаче все пак не мога да си обясня как трансформирахте 3x+1 в (2x+1)- [tex]\frac{1}{3 } [/tex] ?
И по-нататък ка от [tex](x+\frac{1}{4 })^{2} +\frac{3}{4 } [/tex] стана на
[tex](\frac{2}{ \sqrt{3} } (x+\frac{1}{4 }))^{2}+1[/tex]
Моля ви да ми обясните тези трансформации-Благодаря ви за помоща

[kaspersky]

А със събституция нама ли да стане x=t-1/2 (тя е готова)

[gdimkov]

За решаването на интеграли няма рецепта. Като изключим разбира се табличните интерали, които трябва да знаем или да можем да ги видим някъде. В редица случаи изборът на път е въпрос на вкус. Аз лично предпочитам споменатата субституция. В полинома [tex]ax^2+bx+c[/tex] субституцията [tex]x=t-{b \over 2a}[/tex] го превръща в полином без първа степен. Това е особено удобно при определените интеграли, тъй като смяната на границите е проста, dx=dt, и не се налага да връщаме субституцията.
Може би е полезно да отбележа, че от геометрична гледна точка по този начин преместваме върха на параболата върху ординатнтата ос.