Уравнения в цели числа

[Saposto_MM]

Решете в цели числа уравненията:
а) [tex]x^{4}+2x^{3}+2=y^{2}[/tex]
б) [tex]x^{3}=y^{3}+2y^{2}+1[/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

Първата е от Контролното за Младежката Балканиада и се решава с правене на оценка между 2 точни квадрата и с разглеждане на няколко стойности, за които оценката не е вярна Нека някой да я реши, използвайки подсказката За да се реванширам ще пусна една задача от Румъния:
Да се намерят всички цели решения на уравнението:
[tex]x^6+3x^3+1=y^4[/tex]

[Пафнутий]

[tex]x^3=y^3+2y^2+1[/tex]
1-ви случай: [tex]y\ge0 [/tex], тогава е вярна следната оценка:
[tex]y^3<y^3+2y^2+1\le (y+1)^3[/tex]
Като равенство от дясната страна се достига при [tex]y=0[/tex] , тогава единственото решение в цели числа в този интервал е [tex](1;0)[/tex]
2-ри случай: [tex]y<0[/tex]. Разглеждаме [tex]y=-1,-2,-3[/tex] и намираме следните решения в цели числа: [tex](1;-2), (-2;-3)[/tex]. Така интервалът става [tex]y\in (-\infty;-4][/tex] , тогава е вярна следната оценка:
[tex]y^3<y^3+2y^2+1 < (y+1)^3[/tex]
Всичките цели решения на уравнението са: [tex](1;0),(1;-2),(-2;-3)[/tex]

[dim]

Аз го разглеждам по малко по-различен начин:
y³+2y²+1=x³, x³-y³=-(2y+1), x-y≤(x-y)(x²+xy+y²)=-(2y+1)≤-1 => x-y≤1, x≥y+1

y³+2y²+1=x³≥(y+1)³,

y ²+3y≤0 => y=-3,-2,-1,0 => единствените цели решения са (1;0), (1;-2), (-2;-3)

[dim]

a) x⁴+2x³+2=y²

(x²+x-1)²<(x²+x)²-(x²-2)<(x²+x)²

Лявото неравенство е изпълнено за всяко x, а дясното за [tex]x\le -2, x\ge 2[/tex], т.е. за тия стойности на x, за които са изпълнени неравенствата уравнението няма решение => възможните решения са x=-1,0,1 => (-1;1), (-1;-1)

[Пафнутий]

[dim]

[Saposto_MM]

Добри решения!

[Пафнутий]

Добро решение си представил ММ Подканям ви да решите уравнението, което съм постнал, с помощта на оценка.

[dim]

[tex]x^6+3x^3+1=y^4[/tex]

За всяко x>0 e вярно:
[tex](x^3+1)^2<x^6+3x^3+1<(x^3+2)^2[/tex]

За всяко x≤-2 е вярно:
[tex](x^3+2)^2<x^6+3x^3+1<(x^3+1)^2[/tex]

Възможните решения са x=-1,1,0. Оттук и единствените решения на у-то в цели числа (0;1), (0;-1).

[dim]

[Saposto_MM]

Добро решение dim. И аз намерих оценка за x>0, но въобще изключих, че оценката за x<0 ще е със същите многочлени. Нищо, ще ми е за урок, при неравенствата всичко е възможно .
Естествено, че y=-1 е решение. y²=1 => [tex]y=\pm 1[/tex]. Може би в бързината съм забравил да го напиша.

[Пафнутий]

dim, добро решение.Аз съм го решил по подобен начин:
[tex]x^6+3x^3+1=y^4[/tex]
Полагаме [tex]x^3=a , y^2=b[/tex] и понеже [tex]x,y \in Z \Rightarrow a,b \in Z[/tex]. Тогава уравнението е еквивалентно на:
[tex]a^2+3a+1=b^2[/tex] , но тъй като дясната страна е неотрицателна, то трябва
и лявата да е , т.е [tex]a^2+3a+1\ge 0 \Rightarrow a\in (-\infty;\frac{-3-\sqrt{5}}{2}]\cup[\frac{-3+\sqrt{5}}{2};\infty)[/tex], но [tex]a\in Z \Rightarrow a\in (-\infty;-3]\cup[0;\infty)[/tex]
1случай: [tex]a\ge0 , a\in Z[/tex] . Тогава е вярна следната оценка
[tex](a+1)^2\le a^2+3a+1<(a+2)^2[/tex] , като равенство от ляво се достига само при [tex]a=0[/tex]
2 случай: [tex]a\le-3 , a\in Z [/tex]
[tex](a+2)^2\le a^2+3a+1<(a+1)^2[/tex] , като равенство от ляво се достига само при [tex]a=-3[/tex].
Като сумираме, единствените решения са [tex]a=0 ,b=\pm 1[/tex] и [tex]a=-3, b=\pm1 [/tex] , но [tex]x^3=-3[/tex] няма решение в цели числа и тогава единствени решения остават [tex](0;1) , (0;-1)[/tex]