Реални числа

[Saposto_MM]

Нека за реалните числа x и y е вярно x²+xy+y²=1. Ако f(x)=x³y+xy³, то:
а) докажете, че f(x)≥-2
б) намерете най-голямата стойност на f(x).

[Реклама]

[ins-]

Задачата е от Гръцка олимпиада ... поне там съм я виждал, но е интересна.

[Saposto_MM]

Абе ins-, ти май задачи от български олимпиади хич не решаваш. Затова пък олимпиадите в другите страни си ги научил наизуст. Все пак даваш информация, коя задача откъде идва.

[dim]

a) От x²+xy+y²=1 слева (x+y)²=1+xy≥0 => xy≥-1

От друга страна xy=1-(x²+y²)≤1-2xy =>xy≤1/3

Следователно имаме -1≤xy≤1/3

За f(x)≥-2 имаме x³y+y³x=xy(x²+y²)=xy(1-xy)≥-2

От последното неравенство следва -1≤xy≤2, но -1≤xy≤1/3 => f(x)≥-2

б) f(x)=xy(1-xy). Най-голяма стойност се достига за f(x), когато xy=1/2, но xy≤1/3 => Най-голяма стойност ще достига f(x), при xy=1/3.

2/9≥f(x)≥-2

Имам чувството, че греша някъде, но читателите на форума ще ми кажат ако е така.