Рационален корен

[r2d2]

За кои цели [tex]m[/tex] уравнението [tex]4x^3-(m-6)x-m=0[/tex] има рационален положителен корен?

[Реклама]

[Tony_89]

Очевидно за всяко [tex]m \le 0[/tex] множителите пред всяка степен на

x са положителни => уравнението не може да има положителен корен =>

[tex]|m > 0[/tex]
[tex] |m \in Z =>[/tex]

[tex]m \in N =>[/tex]

=> Единствените възможни положителни рационални корени на уравнението са

положителните делители на m върху положителните делители на 4.

1 е корен при m = 5.

[tex]\frac{1}{2}[/tex] и [tex]\frac{1}{4}[/tex] са корени при нецели стойности на m.

[tex]m[/tex], [tex]\frac{m}{2}[/tex], [tex]\frac{m}{4}[/tex] не са възможни корени, защото при

заместване с тях се получава уравнение от вида [tex]m.(am^{2} + bm + c) = 0[/tex],

като дискриминантата на тричлена е отрицателна.

Нека m = qn, като q и n са естествени числа [tex]\ge 2[/tex].

Остава да проверим дали [tex]q[/tex], [tex]\frac{q}{2}[/tex] и [tex]\frac{q}{4}[/tex] са възможни корени.

[tex]4q^{3} - (qn - 6)q - qn = 0 /:q[/tex]

[tex]4q^{2} - qn + 6 - n = 0[/tex]

[tex]n = \frac{4q^{2} + 6}{q + 1}[/tex]

Нека [tex]q + 1 = u \ge 3[/tex]

[tex]n = \frac{4.(u - 1)^{2} + 6}{u} = 4u - 8 + \frac{10}{u} =>[/tex]

[tex]=> u = 5,10[/tex]

q = 4 или 9, съответно n = 14, 33 и m = 56, 297.

Проверката за [tex]\frac{q}{2}[/tex] и [tex]\frac{q}{4}[/tex] е аналогична.

Окончателно m = 5,9,56,297.

[r2d2]

[tex]4x^3-(m-6)x-m=0[/tex]
1. Ако уравнението има цял корен:
[tex]4x^3-(m-6)x-m=(x-a)(4x^2+bx+c)[/tex] a,b,c са цели. Като сравним коефициентите пред съответните степени на х, получаваме:
[tex]0=b-4a, \; 6-m=c-ab=c-4a^2, \; ac=m; \; \Rightarrow 6-ac=c-4a^2[/tex]
От 4a^2-ac-c+6=0 полу4аваме: [tex](a+1)(4a-c-4)=-10[/tex]. Търсим само положителните а такива, че а+1 да е делител на 10.
а=1 дава 4а-с-4=-5, т.е с=5 и м=5
а=4 дава 4а-с-4=-2 с=14 и м=56
а=9 дава 4а-с-4=-1 с=33 и м=297. (Другите стойности на м, за които у-нието има цял корен са м=0;44;63;180 и 539 и могат да бъдат намерени по същия начин).
2. Търсим рационални корени.

2.1. [tex]4x^3-(m-6)x-m=(2x-a)(2x^2+bx+c) [/tex] a,b,c са цели и а е нечетно. По същия начин намираме, че:
[tex]a^2-ac-2c+6=0,[/tex] откъдето [tex](a+2)(a-c-2)=-10[/tex] единствено а=3 е неч. положително и а+2 е делител на 10. При а=3 а-с-2=-2 с=3 и м=9.

2.2 [tex]4x^3-(m-6)x-m=(4x-a)(x^2+bx+c) [/tex] a,b,c са цели и а е нечетно.Като сравним коефициентите пред [tex]x^2[/tex], получаваме: 0=4b-a или а=4b, което показва, че този случай е невъзможен.