Неравенство

[Pinetop Smith]

За a, b, c ≥ 0(най-много едно от тях да е равно на нула), да се док., че

[tex]\frac{a}{b^2+ca} + \frac{b}{c^2+ab} + \frac{c}{a^2+bc} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(a^3+b^3+c^3)}[/tex]

[Реклама]

[Saposto_MM]

Здравейте! Изглежда доста сте поизписали из форума напоследък.
Неравенството се доказва със Хубавото неравенство и x³+y³≥x²y+xy². В знаменателя отляво може да е и a³+b³+c³+3abc. Така става по-силно.

[Pinetop Smith]

Стигаш до [tex]a^3 + b^3 + c^3 \ge ab^2 + bc^2 + ca^2[/tex], нали? Напиши как го доказваш. Дотук съм измислил два начина

[Saposto_MM]

По-скоро достигам до [tex]2\left(a^3 + b^3 + c^3\right) \ge ab^2 + bc^2 + ca^2+ba^2 + cb^2 + ac^2[/tex], което доказвам като използвам [tex]x^{3}+y^{3}\ge x^{2}y+xy^{2}[/tex].

[Pinetop Smith]

Ако си го правил, за да приложиш Коши-Буняковски в Хубавата форма , имаш дребна грешка в знаменателите