нечетни коефициенти

[ганка симеонова]

Да се докаже, че ако всички коефициенти на уравнението
[tex]ax^2+bx+c=0 [/tex] са цели нечетни числа, то уравнението няма рационални корени.

[Реклама]

[dim]

За да има рационални корени уравнвнието b²-4ac=t²

нека b=2k+1, ac=2l+1=>(2k+1)²-4(2l+1)=4k²+4k+1-8s-4=4(k²+k-2s-1)+1=4(k(k+1)-(2s+1))+1.Разликата в скоботе в ринаги нечетно число => е от вида 2f+1=>t²=4(2f+1)+1=8f+5

Имаме 8f+5=t².Лесно се доказва, че 8f+5 никога не е точен квадрат, защото когато делим t² na 8, възможните остатъци са 1 и 4.

Значи при нечтни цели числа за a,b,c корените на у-то са винаги ирационални или комплексни, т.е никога не са рационални.

[dim]

Моля поправете ако нещо греша

[r2d2]

Допускаме, че уравнението има за корен числото [tex]\frac {m}{n}[/tex] като m и n са взаимно прости.
Като умножим по[tex] n^2[/tex] получаваме: [tex]am^2+bmn+cn^2=0[/tex]. Лесно се съобразява, че при взаимно прости m и n, лявата страна е нечетно число, което е невъзможно (нечетно = 0).