Точен куб

[Пафнутий]

Да се докаже, че всеки точен куб може да се представи като разлика от два точни квадрата.

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Нека [tex]a^3 = b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)[/tex]. Да видим дали е възможно

[tex]b-c = a[/tex]
[tex]b+c = a^2[/tex]

От системата получаваме [tex]b = \frac{a^2+a}{2},[/tex] [tex]c = \frac{a^2-a}{2}[/tex], като и двете са цели числа, защото са произведения на две последователни числа, разделени на 2, т.е. четно/2 = цяло(това звучи тъпо). Следователно можем да изберем

[tex]\frac{(a^2+a)^2}{4} - \frac{(a^2-a)^2}{4} = a^3[/tex]

ПП: Имам чувството, че е грешно(решението ми, а не отговора)

[Пафнутий]

Отговорът ми е същият, а решението по-различно Аз ти го пратих на ЛС

[r2d2]

Според мен, решението ти е вярно и напълно естествено.
Друго възможно решение използва тъждеството:

[tex]1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2[/tex], което може да се докаже с индукция.

[Pinetop Smith]

Радвам се

ПП: Станислав използва точно тази формула, но нека и другите помислят

[ганка симеонова]

Че то няма нищо за мислене
[tex]1^3+2^3+...n^3= (1+2+..+n)^2 [/tex]
[tex]1^3+2^3+...+(n-1)^3= (1+2+..+n-1)^2 [/tex]
вадим почленно и получаваме:
[tex]n^3=(1+2+..+n)^2 - (1+2+..+n-1)^2 [/tex]