Задачка със степенуване

[advokata]

Здравейте!

Прочетох от една книга за математически състезания от 5-7 клас , една задача:
Коя е последната цифра на 1997^1996.

Отговорът не го пише. (не знам защо)
За да успееш да намериш цялото число ще са ти нужни поне 3 живота.


???
Задачата май беше за 6-ти клас.

[Реклама]

[ганка симеонова]

сега да видим, дали ще мога да ти го обясня читаво
в случая ни интересува последната цифра на [tex]7^{1996}[/tex]
ще направя табличка, на последните цифри на първите няколко степени на числото 7.
В първия ред ще поставим степенния показател, а във втория- последната цифра на съответната степен на 7

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
степенен показател| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8|
----------------------- ---------------------------------------------------------------------------------
последна цифра-----|7 | 9| 3| 1| 7| 9| 3| 1|
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Забелязваме че последната цифра се повтаря през четири.
Тогава за да разберем например последната цифра на [tex]7^9[/tex], ще разделим 9 на 4. остатъкът от делението е 1=>последната цифра ще е 7. Ако остатъкът е 2, последната ще е 9, ако остатъкът е 3- последната ще е 3 и ако числото се дели точно на 4- последната ще е 1.
1996 се дели на 4 без остатък=> последната цифра ще е 1

[Пафнутий]

Може да се реши и със сравнимост:
[tex]1997^{1996}\equiv x(mod10)[/tex]
[tex]1997\equiv 7(mod10)\Rightarrow 1997^{1996}\equiv 7^{1996}(mod10)[/tex]
От (7,10)=1 по Теоремата на Ойлер имаме [tex]7^{\varphi(10)}\equiv 1 (mod 10)[/tex]. Но [tex]\varphi(10)= 10.(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=4[/tex] и оттам [tex]7^4\equiv1(mod10)\Rightarrow 7^{1996}\equiv 1(mod10) [/tex], т.е последната цифра на [tex]1997^{1996}[/tex] е [tex]1[/tex].

[r2d2]

[Пафнутий]