Решете тригонометричното уравнение:

[Infernum]

Решете тригонометричното уравнение, в зависимост от стойностите на реалните параметри, а, b, c.
a*cos x+b*sin x = c

[Реклама]

[uktc]

По мои преценки този, който реши задачата ще спечели първата в историята Нобелова награда за математика.

[Infernum]

Задачката е нестандартна, верно, но решението не е трудно.
има една интересна цака.

[*UKTC*]

Може ли да я споделиш тази цака

[uktc]

Абе върти ми се една идея... Я дай жокерче.
Получих, че:
I. При c=0 x=п/2 -m +kп
II. При c<>0 x=n-m +2kп или x=п-(m+n)+2kп,
където:
m е такъв ъгъл, че sin(m)=a/sqrt(a^2+b^2) и cos(m)=b/sqrt(a^2+b^2)
n е такъв ъгъл, че sin(n)=c/sqrt(a^2+b^2)
Има ли нещо общо с отговора? Да знам дали да публикувам решението

[uktc]

Малка корекция.

[Infernum]

Има нещо вярно, добре се ориентираш, но помисли хубавичко.
Напиши и решението, пък после ще обсъдим!!
Поздрави!!

[uktc]

А този отговор?:

[uktc]

Ето какво решение предлагам:

[uktc]

Поправка:
Не е нужно условията а<>0 и b<>0 да са изпълнени едновременно, както съм написал горе. Достатъчно е само едното от тях да е изпълнено.

[Infernum]

Добре си разбрал лекцията, но има и още!!
Само, зада избегнеш описание на 2 множества от решения, може да положиш:
cos t=a/sqrt(a^2+b^2);
sin t=b/sqrt(a^2+b^2);
от тук:
t=arctg(b/a)
-п/2<=t<=п/2
и свеждаш уравнението до:
cos(t-x)=c/sqrt(a^2+b^2);
И така:
x=arctg(b/a) - arccos(c/sqrt(a^2+b^2)) + kп/2
при |с|<=sqrt(a^2+b^2) и sqrt(a^2+b^2) <>0

х Е R
при а=b=c=0

x E Ф
при |с|>sqrt(a^2+b^2)

[uktc]

[Infernum]

Интересна дискусия стана...
А иначе има една интересна геометрична интерпретация. Тя до известна степен води до указаната "рецепта" за деление двете страни на уравнението на числото sqrt(a^2+b^2).
Значи:
Това уравнение представлява едно скаларно произведение на два вектора
в декартова координатна система.
Единия вектор е единичен.
Неговите директорни косинуси са cos x и sin x:
И Taкa:
е=(cos x, sin x)
Другия вектор е с координати v=(а, b)
Така, за скаларното произведение на тези 2 вектора и от условието имаш:
v*e = (а, b)*(cos x, sin x) = acos x + bsin x = c
От друга страна
v*e = |v||e|cos t = c
където t е ъгълът между двата вектора v и e.
Тогава:
|v|=sqrt(a^2+b^2)
|e|=1
и
acos x + bsin x = sqrt(a^2+b^2)cos t = c
Така се получава:
а/sqrt(a^2+b^2)cos x + b/sqrt(a^2+b^2)sin x = c/sqrt(a^2+b^2) = cos t
а разделяйки вектора v на неговата дължина |v|=sqrt(a^2+b^2), се получава вектор, който е нормиран на v и е единичен.
Така, ако положиш:
u=v/|v|, ще се окаже че,
u=(а/sqrt(a^2+b^2), b/sqrt(a^2+b^2)),
а координатите му са директорните му косинуси.
Тогава cos p = а/sqrt(a^2+b^2), sin p = b/sqrt(a^2+b^2)
където p е ъгълът, който вектора v сключва с оста Ox.
Ясно е вече, че t = p - x
и полученото уравнение се свежда до:
cos p*cos x + sin p*sin x = c/sqrt(a^2+b^2)
Оттук нататък, задачата си се решава по познатия път.

[Infernum]

[Lubo]

Edno "usukano" i mozhe bi "lesno-trudno" reshenie - PRAVILNO li e tova reshenie???

Ako uspeem da reshim uravnenieto

(1) a*sin(x) + b*cos(x) = A*sin(x + p) ?

za “A” i “p” kadeto “A” i “p” sa chisla (constanti)

Originalnoto uravnenie:

(2) a*sin(x) + b*cos(x) = c

shte se svede do:

(3) A*sin(x + p) = c, chieto reshenie e ochevidno

-----------------

Znaem che:

(4) sin(x + p) = sin(x)cos(p) + cos(p)sin(x)

Ot (1) i (4) sledva:

(5) a*sin(x) + b*cos(x) = A*sin(x)cos(p) + A*cos(x)sin(p)

ili

(6) a*sin(x) = A*sin(x)cos(p)
b*cos(x) = A*cos(x)sin(p)

razglezdame sin(x) i cos(x) kato ‘nezavisimi promenlivi’

Togava:

(7) a = A*cos(p)
b = A*sin(p)

ili

(8) tg(p) = b/a ==> p = arctg(b/a)

Ot tuk mozhem da izrazim “A” kato:

(9) A = a/cos(p) --> p = arctg(b/a) --> vizhte (8)

Kombinirayki (2) i (9) reshavame za “x”

Ostava da se pokazhe, che vashite i moite resheniya sa equivalentni :-)

Lubo

[Lubo]

Imah vpredvid - kombinirayki (3) i (9) reshavame za "x".

Lubo

[uktc]

Infernum, Lubo, а как ще докажем, че съществува ъгъл (в случая m), за които едновременно са изпълнени уравненията sin(m)=a/sqrt[a^2+b^2] и cos(m)=b/sqrt[a^2+b^2]? В смисъл от къде знаем, че съществува такъв ъгъл, синуса и косинуса на който са равни точно на тези две числа?

[Lubo]

-1 <= a/sqrt[a^2+b^2] <= 1, за а<>0 и b<>0
-1 <= b/sqrt[a^2+b^2] <= 1, за а<>0 и b<>0

:. могат да бъдат 'sin' и 'cos'

Освен това е в сила и Питагоровото равенство, изразяващо

[sin(m)]^2 + [cos(m)]^2 = 1

a именно:

{a/sqrt[a^2+b^2]}^2 + {b/sqrt[a^2+b^2]}^2 = 1

-------------

За моето решение (то е на предната страница), изпозувах софруера Geometer's Sketchpad, чрез който построих динамична графика - коефициентите 'a' и 'b' могат да се променят плавно, покриващи широк интервал от стойности. Като начертах графиката на

y = a*sin(x) + b*cos(x)

видях, че тя представлява гарфика на 'sin' (или 'cos') отместена по фаза 'p' и с променена амплитиуда 'A' в сравнение с графиката на 'sin'

Това ме подсети (Geometer's Sketchpad софтуерът е незаменинм в даването на ефектни идеи и елиминирането на грешни такива) да сведа задачата до намирането на тези фазово отместване и нова амплитуда, а именно от уравнението:

a*sin(x) + b*cos(x) = A*sin(x + p)

да определя изразите за 'A' и 'p'

p = arctg(b/a)
A = a/cos(p)

и да сведа началното уравнение

a*sin(x) + b*cos(x) = с

до

A*sin(x + p) = c

чието решение е очевидно

--------
Любо

[Infernum]