Задачи

[vel.angelov]

Ето няколко интересни задачи:
1.Намерете:
a)[tex]sin18^\circ =?[/tex]

b)[tex]sin9^\circ =?[/tex]

c)[tex]sin42^\circ=? [/tex]

2.Да се намери най малката стойност на извраза:
[tex]sin(x+\frac{\pi }{8 } )cos(x-\frac{\pi }{ 24} )[/tex]
3.Ако [tex]\alpha, \beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex] са ъгли на ▲ да се докаже:
[tex]sin^{2}2\alpha +sin^{2}2\beta +sin^{2}2\gamma +2cos2\alpha cos2\beta .cos2\gamma =2[/tex]

[Реклама]

[ObsCure]

За 1-ва a) -> http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4861

б)От подточка a) знаем,че

[tex]sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]

Но

[tex]sin18^\circ=sin2.9^\circ=2sin9^\circ.cos9^\circ[/tex]

Полагаме

[tex]sin9^\circ=x[/tex]

[tex]cos9^\circ=y[/tex]

т.е.

[tex]2xy=\frac{\sqrt{5}-1}{4}[/tex]

От основното тригонометрично имаме

[tex]x_^{2}+y_^{2}=1[/tex]

И тук вече чрез система може да се довърши.

в)[tex]sin42^\circ=sin(60^\circ-18^\circ)=sin60^\circ.cos18^\circ-cos60^\circ.sin18^\circ=...[/tex]

[ObsCure]

2) [tex]A=sin(x+\frac{\pi}{8})cos(x-\frac{\pi}{24})[/tex]

За краткост ще положим

[tex]\frac{\pi}{24}=t => A=sin(x+3t)cos(x-t)[/tex]

И така,първата производна на израза е

[tex]A'=[sin(x+3t)]'cos(x-t)+[cos(x-t)]'sin(x+3t)=cos(x+3t)cos(x-t)-sin(x-t)sin(x+3t)=cos(x+3t+x-t)=cos(2x+2t)[/tex]

Нулираме я и получаваме

[tex]A'=0 <=> cos(2x+2t)=0=cos90^\circ[/tex]

т.е.

[tex]2x+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}[/tex]

или търсената стойност на x е

[tex]x=\frac{5\pi}{24}[/tex]

Сега замести с тази стоиност в [tex]A[/tex] и ще получиш най-малката стойност.

[ганка симеонова]

[ObsCure]

Мхм,пропуснах знак.Дам,решението с формулата е доста по-кратко и по-добро.

[ганка симеонова]