Външно за хипотенузата АВ на ABC е построен квадратът ABPQ

[r2d2]

Даден е пр. тр. АВС.
а) външно за хипотен. АВ е построен квадратът ABPQ. Док, че [tex]XY^2=BX.AY[/tex]
б)външно за хипотен. АВ е построен правоъгълникът ABMN. Ако [tex]AB=\sqrt{2}AM[/tex] док, че [tex]AS^2+BR^2=AB^2[/tex]

[Реклама]

[martosss]

а) нека АС=b, ВС=a, АВ=c=[tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex](третото е за прегледност), [tex]\angle BAC=\alp, \angle ABC=90^\circ -\alp[/tex].
Ще изразим ХУ, АУ и ВХ със "а" и "b".
[tex]ab=ch\Right h=\frac{ab}{c}[/tex]
[tex]\Del XYC\approx \Del PQC\Right \frac{S_{XYC}}{S_{PQC}}=\frac{XY^2}{PQ^2}=\frac{XY^2}{AB^2}=\frac{XY*h}{AB*(AB+h)}\Right XY=\frac{ABh}{AB+h}=\frac{c*\frac{ab}{c}}{c+\frac{ab}{c}}=[/tex][tex]\red \frac{c^2ab}{c^2+ab}=XY[/tex]


[tex]\left.S_{AQC}=\frac{AQ*AC*sin(90^\circ +\alp )}{2}=\frac{AB*AC*cos\alp }{2}\\S_{AQC}=\frac{AY*(AQ+h)}{2}=\frac{AY*(AB+h)}{2}\right}AY=\frac{AB*AC* cos\alp }{AB+h}=\frac{cb\frac{b}{c}}{c+\frac{ab}{c}}=[/tex][tex]\red\frac{b^2c^2}{c^2+ab}=AY[/tex]
Аналогично [tex]BX=\frac{BC*AB*sin\alp }{AB+h}=\frac{ac\frac{a}{c}}{c+\frac{ab}{c}}=[/tex][tex]\red\frac{a^2c^2}{c^2+ab}=BX[/tex]

[tex]XY^2=\left(\frac{abc^2}{c^2+ab}\right)^2=AYBX[/tex]

като може да заместим c със първоначалното полагане, получаваме изразяване с две променливи - катетите на триъгълника

Сигурно и б) може да се реши по същия метод

[ins-]

известен резултат - на Ферма е.

[martosss]

Иска ми се да пробвам и по друг начин, ама се опасявам че ще стане след 10-тина 15 дни, понеже отивам на море утре Но няма да се плашите, вие тук си имате Nona все пак Сигурен съм че тя ще измисли нещо по-геометрично от моето

[Nona]

Не знам дали е по-геометрично, но ето и моето решение на а):

Постр. NY и MX, перпендикулярни на АВ=c.

[tex]\triangle NAY\sim \triangle BMX \Rightarrow AY.BX=NY.MX[/tex]

[tex]\triangle NYK \sim \triangle AQC \Rightarrow NY=\frac{CY.c}{CQ} \\ \triangle CMX \sim \triangle CPB \Rightarrow MX=\frac{CX.c}{CP} \\ \triangle YXC \sim \triangle QPC \Rightarrow YX=\frac{CX.c}{CP}=\frac{CY.c}{CQ} \\ \Rightarrow AY.BX=NY.MX=\frac{CY.c}{CQ}.\frac{CX.c}{CP} =YX^2[/tex]

[ганка симеонова]

2) по втората задача. Използвайки чудесното решение на Нона, по аналогичен начин се доказва, че
[tex]RS^2=2AR. SB[/tex] Означаваме [tex]AR=x; SB=z=>RS=\sqrt{2xz} [/tex]
[tex]AB^2=(x+\sqrt{2xz}+z)^2=x^2+z^2+2xz+2x\sqrt{2xz}+2z\sqrt{2xz}+2xz=[/tex]
[tex](x^2+2x\sqrt{2xz}+2xz) +(z^2+2z\sqrt{2xz}+2xz)=(x+\sqrt{2xz})^2+(z+\sqrt{2xz})^2=AS^2+BR^2 [/tex]