равенство, неравенство

[ганка симеонова]

Да се докаже, че

[tex]\sqrt{x} +\sqrt{2x-4} +\sqrt{16-3x} \le 6 [/tex]

Кога се достига равенство?

[Реклама]

[ObsCure]

Равенство се достига при

[tex]x=4[/tex]

[ганка симеонова]

Очевидно да, но само при х=4 ли? Ако е така, трябва, да го докажеш..

[ObsCure]

[ганка симеонова]

Рстяща? как се доказва, че е такава?

[martosss]

[ObsCure]

А иначе доказателството на неравенството става посредством неравенство на Коши.И сега възниква въпросът-'Е нали само за неотрицателни числа се използва?'Всичко хубаво,ама заместете с 0 и вижте какво се получава.А иначе равенство се достига при

[tex]\sqrt{x}=\sqrt{2x-4}=\sqrt{16-3x}[/tex]

[ObsCure]

[ганка симеонова]

Хмм, голям ентусиаст си.. Аз не бих посмяла с производни...А и честно казано, не знам, дали е растяща
Не съм я пробвала

[ганка симеонова]

[ObsCure]

Предавам се

[martosss]

[Fed]

[ганка симеонова]

Хеййййййййй, купон да става!!!
Но, все пак...Задачката е мнооого готинка

[ганка симеонова]

[martosss]

[ObsCure]

[ганка симеонова]

на втора??? Марто, не съм имала това предвид....
да, това неравенство имах предвид, но не баш така...

[ганка симеонова]

но имай така е вярно

[martosss]

Така е дадено в четиризначните таблици заедно с другата необходима теория, така го преписвам Тия жълтите са златни просто, има всичко

[ганка симеонова]

[martosss]

Добре... имаме [tex]a_1=\sqrt{x},\: a_2=\sqrt{2x-4},\: a_3=\sqrt{16-3x},\;\; b_1=\sqrt{2x-4},\: b_2=\sqrt{16-3x},\: b_3=\sqrt{x}[/tex] и сега прилагаме формулата за n=3, в общи линии целта е хиксовете отдясно в дробната черта да се съкратят

[tex]\underbrace{\sqrt{x}\sqrt{2x-4}+\sqrt{2x-4}\sqrt{16-3x}+\sqrt{16-3x}\sqrt{x}}_{iskanoto....neravenstvo}\le \sqrt{x+2x-4+16-3x}\sqrt{2x-4+16-3x+x}=\sqrt{12}\sqrt{12}=12[/tex]

Равенство се достига при [tex]\sqrt{x}=\sqrt{2x-4}\Right x=4[/tex]

[ганка симеонова]

От н-то на Коши-Буняковски-Шварц=>
[tex] 1.\sqrt{x}+1.\sqrt{2x-4}+1.\sqrt{16-3x}\le \sqrt{(1^2+1^2+1^2)(x+2x-4+16-3x)} =6 [/tex]
Равенство се достига при [tex]x=2x-4=16-3x=>x=4 [/tex]

[r2d2]

Докажете:[tex] sqrt{x}+sqrt{2x-4}\le \frac{3x}{4}+1\le 6-\sqrt{16-3x}[/tex]
Toва е практически нова задача, която решава и предходната (по много тъп начин)

[martosss]

[ганка симеонова]

Ето и геометричния смисъл, който е имал предвид r2d2.

[r2d2]

[tex]sqrt{x}+sqrt{2x-4}\le \frac{3x}{4}+1[/tex]
Полагаме [tex]sqrt{x}=u\;\;sqrt{2x-4}=v \Rightarrow 3x=u^2+v^2+4[/tex]
Неравенството добива вида:[tex]u+v\le \frac{u^2}{4}+\frac{v^2}{4}+2[/tex] или
[tex]0\le (\frac{u}{2}-1)^2+ (\frac{v}{2}-1)^2[/tex], което очевидно е вярно.

[martosss]