Намерете ъгъла

[r2d2]

В равнобедрения прав. ▲АВС, К е от хипотенузата АВ и я дели в отн. АК:КВ=2/1.Правата АД е перп. на СК и пресича ВС в М. Намерете [tex]\angle MDB [/tex](под това се разбира произв. триг. ф-я на ъгъла).

[Реклама]

[ганка симеонова]

Построяваме СН- височина=>[tex]AH=\frac{3x}{ 2} ; HK=\frac{x}{2 }; KB=x [/tex]
Означаваме [tex]\angle AKC=\alpha [/tex] Четириъгълникът AHDC- вписан=>[tex]HD=AC.cos\alpha [/tex]
[tex]AB=3x=>AC=\frac{3x}{\sqrt{2} } ; \Delta CHK=>tg\alpha =\frac{CH}{HK }=3=>cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{10} }=>HD=\frac{3x}{ 2\sqrt{5} } [/tex]
[tex]\Delta ADK=>DK=AK. cos\alpha =\frac{2x}{\sqrt{10} } [/tex]
[tex]\angle HDK=\angle CAK=45^\circ [/tex]Прилагаме кос. т-ма за [tex]\Delta DKB=>DB=....=\frac{3x}{\sqrt{5} } [/tex]
Отсечките [tex]HD; DB; HB [/tex] удовлетворяват питагоровата теорема=>[tex]\angle HDB=90^\circ =>\angle KDB=45^\circ =>\angle MDB=45^\circ [/tex]

[martosss]

Ето и моето решение:
Означаваме си [tex]AB=3x\Right AK=2x,\: KB=x[/tex]. Нека [tex]CH[/tex] е височина в [tex]\Del ABC[/tex], тогава [tex]AH=BH=\frac{3x}{2}\Right HK=\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\Del AHC[/tex] е правоъгълен и равнобедрен с бедро [tex]AH=AC=\frac{3x}{2}\Longrightarrow^{Pitagor} AC=BC=\frac{3x\sqrt{2}}{2}[/tex]
От [tex]\Del HKC\Longrightarrow^{Pitagor} KC=\frac{2\sqrt{10}}{2}[/tex].
Сега си означаваме [tex]CD=a,\: DK=b\Right \begin{tabular}{|1}a+b=KC=\frac{x\sqrt{10}}{2}\\AC^2-a^2=AK^2-b^2\end{tabular}\Right \cdots b=\frac{x\sqrt{10}}{5}=KD[/tex]
[tex]\Del HKC\Right cos\angle HKC=\frac{HK}{KC}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\Right cos\angle BKC=-\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex]
От косинусовата теорема за [tex]\Del KBD[/tex] и ъгъл DKB намираме [tex]BD=\frac{3x\sqrt{5}}{5}[/tex].
От косинусовата теорема за [tex]\Del KBD[/tex] и ъгъл KDB намираме [tex]cos\angle KDB=\frac{\sqrt{2}}{2}\Right \angle KDB=45^\circ\Right \angle BDM=90^\circ -45^\circ =45^\circ[/tex]

[Nona]

Нека BD∩AC=N, AM∩NK=S. От теоремата на Чева за ▲ABC получаваме:

[tex]\frac{AK}{KB}.\frac{MB}{MC}.\frac{CN}{NA}=1\Rightarrow NA=2NC=2y \\ \frac{AK}{KB}=\frac{AN}{NC}=\frac21 \Rightarrow NK||CB \Rightarrow AN=NK=2y[/tex]

В трапеца средите на основите и пресечните точки на диагоналите и на продълженията на бедрата лежат на една права.

NKCN - трапец => S - среда на NK =>[tex] NS=SK=\frac12 NK=y=NC \Rightarrow \angle NSC=\angle NCS=45^{\circ}[/tex]

NSDC - вписан [tex]\Rightarrow \angle NSD=\angle NDC= KDB=45^{\circ}[/tex]

[r2d2]

Нека височината СН пресича АМ в т.S.
В ▲АСК СН и АД са височини, т. е. S е ортоцентър. Нека КS пресича АС в N. Ясно е, че КN е усп. на ВС.
От[tex] \frac{SH}{CS}=\frac{HK}{KB}=\frac{1}{2} \Rightarrow [/tex] S дели медианата СН в отн. 2:1 т.е. е медицентър в ▲АВС. Тогава АМ е медиана и М и S са среди в подобните АКN и ABC.
Нататък като Нона, която отново е блестяща!