Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача по алгебра


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Aug 15, 2008 1:51 pm    Заглавие: Задача по алгебра

Ако [tex]a[/tex] е нечетно цяло число, да се докаже, че полиномът [tex]x^5+10x^3+3x+a[/tex] не може да се представи като произведение на два полинома с цели коефициенти от по-ниска степен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sun Aug 17, 2008 10:48 am    Заглавие:

Допускаме, че полиномът се разлага.
1. [tex]f(x)=x^5+10x^3+3x+a=(x-m)(x^4+...+n)[/tex]. От [tex]f(0)=a=-m \cdot n [/tex] разбираме, че m дели а, т.е. m е нечетно. Тогава [tex]f(m)=m^5+10m^3+3m+a[/tex] e нечетно (сума на 3 - неч. и 1- четно), което е невъзможно (f(m)=0).

2.[tex]f(x)=(x^2-px+q)(x^3+...+n)[/tex]. Както по-горе се показва, че q е нечетно. Понеже [tex]f(1)=14+a=(1-p+q)(...)[/tex] ) e ясно, че 1-p+q е нечетно, т.е. p е четно.
Нека [tex]x_1, x_2 [/tex]са корените на [tex]x^2-px+q=0, \; x_1+x_2 = p, \; \; x_1x_2 = q.[/tex]

От [tex](x_1+x_2)^3=p^3=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)\Rightarrow x_1^3+x_2^3=p^3-3pq[/tex].
От [tex](x_1+x_2)^5=p^5=x_1^5+x_2^5+5x_1x_2(x_1^3+x_2^3)+10x_1^2x_2^2(x_1+x_2)\Rightarrow x_1^5+x_2^5=p^5-5p^3q+5pq^2 [/tex].
Имаме[tex] f(x_i)=0=x_i^5+10x_i^3+3x_i+a \;\; (i=1,2). [/tex] Събираме тези две равенства и заместваме. Получаваме [tex]p((p^4-5p^3q+10p^2-30q)+(5q^2+3))=-2a[/tex]. Лявате част се дели на 4, а дясната точно на 2, което е невъзможно.

Предварително се извинявам ако имам грешки в сметките!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Mon Aug 18, 2008 3:34 pm    Заглавие:

С леката поправка, че във скобата второто събираемо е [tex]-5p^2q [/tex], коевто не оказва влияние в/у решението обаче.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.