инверсия

[martosss]

Точка [tex]B[/tex] е вътрешна за отсечката [tex]AC[/tex]. От една и съща страна на [tex]AC[/tex] са построени окръжности [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] с диаметри съответно [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex]. Променлива окръжност [tex]k_3[/tex] минава през точките [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex]. Ако [tex]k_3[/tex] пресича [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] в точките [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex], да се докаже, че правата [tex]XY[/tex] пресича отсечката [tex]AC[/tex] в постоянна точка [tex]K[/tex], като притова [tex]\frac{1}{AK}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}[/tex].

[Реклама]

[r2d2]

Нещо условието ме дразни.
Ето нормалната формулировка:
Точка В лежи на отсечката АС. Окръжностите с диаметри АВ и АС се пресичат с окръжност минаваща през В и С в точките Х и У... и т. н.
Ето и решение: Ясно е (ХУВС -описан) , че [tex]\angle BAX =\angle AYK \Rightarrow \Delta AKX \sim \Delta YKA \Rightarrow \frac {AK}{KX}=\frac {YK}{KA} \Rightarrow AK^2=KX.KY=KB.KC[/tex]
[tex]AK^2=(AB-AK)(AC-AK)=AK^2-(AB+AC).AK+AB.AC \Rightarrow AB.AC=(AB+AC).AK[/tex]

[martosss]

Браво, r2d2, сега може да опитате задачата в раздел Логаритми