| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
  
гласове: 213
|
 Пуснато на: Tue Aug 12, 2008 12:06 pm Заглавие: една красота с параметър |
|
|
Да се реши уравнението
[tex]\frac{a^x-1}{a-1}=log_a [(a-1)x+1][/tex],
където [tex]a[/tex] е параметър.
П.П. Предупреждавам, че авторското решение използва доста сложен материал 
П.П. Задачата е от сборник на Борислав Михайлов и е авторска 
|
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 8:22 am Заглавие: Re: една красота с параметър |
|
|
| martosss написа: | Да се реши уравнението
[tex]\frac{a^x-1}{a-1}=log_a [(a-1)x+1][/tex],
където [tex]a[/tex] е параметър. |
Ето моят подход, да кажете дали греша и как да продължа 
[tex]D.S.a\ne 1[/tex].
Нека [tex]\frac{a^x-1}{a-1}=log_a [(a-1)x+1]=y\Right\\\Right \begin{tabular}{|1}a^x-1=(a-1)y\\a^y=(a-1)x+1 \end{tabular}\Leftright \begin{tabular}{|1}(a-1)y=a^x-1\\(a-1)x=a^y-1\;\;\;(*)\end{tabular}[/tex]
[tex]1.\: y=0\Right a^x=1\Right x=0[/tex] и [tex]x=0[/tex] е решение !
[tex]2.\: y\ne 0\Right (a-1)=\frac{a^x-1}{y}\Right[/tex]
[tex]\Right^{(*)} \frac{(a^x-1)x}{y}=a^y-1 [/tex]
[tex](a^x-1)x=(a^y-1)y[/tex]
Сега тук бих казал, че единственото решение е x=y, тъй като иначе... са различни, но просто не знам как да продължа....
И дори обаче да имаме x=y получаваме уравнението [tex]a^x-1=(a-1)x[/tex], което си нямам на идея как ще се реши 
Така че... помагай, народе
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Baronov
Напреднал
Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316
гласове: 39
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 10:46 am Заглавие: Re: една красота с параметър |
|
|
[quote="martosss"] | martosss написа: |
[tex](a^x-1)x=(a^y-1)y[/tex]
Сега тук бих казал, че единственото решение е x=y, тъй като иначе... са различни, но просто не знам как да продължа....
И дори обаче да имаме x=y получаваме уравнението [tex]a^x-1=(a-1)x[/tex], което си нямам на идея как ще се реши
Така че... помагай, народе |
Не може ли с Бернули.
[tex] a^{x} = (a- 1 + 1)^{x} \geq 1 + (a-1)x [/tex]. И сега трябва да си спомним кога имаше равенство в неравенството на Бернули.
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 10:51 am Заглавие: Re: една красота с параметър |
|
|
| дам, така е... ама за произволно х не знам дали ще стане номера...
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 10:52 am Заглавие: Re: една красота с параметър |
|
|
[quote="Baronov"] | martosss написа: | | martosss написа: |
[tex](a^x-1)x=(a^y-1)y[/tex]
Сега тук бих казал, че единственото решение е x=y, тъй като иначе... са различни, но просто не знам как да продължа....
И дори обаче да имаме x=y получаваме уравнението [tex]a^x-1=(a-1)x[/tex], което си нямам на идея как ще се реши
Така че... помагай, народе |
Не може ли с Бернули.
[tex] a^{x} = (a- 1 + 1)^{x} \geq 1 + (a-1)x [/tex]. И сега трябва да си спомним кога имаше равенство в неравенството на Бернули. |
Неравенството на Бернули не е ли в сила, за естествени х?
Равенство ще се досига мисля, при а=1, но нашата основа е различна от 1 
и при х=1
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Baronov
Напреднал
Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316
гласове: 39
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 11:54 am Заглавие: Re: една красота с параметър |
|
|
| ганка симеонова написа: |
Неравенството на Бернули не е ли в сила, за естествени х?
|
Не само. В сила е и за произволни в едната от двете посоки.
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 12:05 pm Заглавие: Re: една красота с параметър |
|
|
Много ти благодаря, за статията 
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 1:46 pm Заглавие: |
|
|
Дам, значи с Бернули ще стане - имаме, че се изисква [tex] x\ne 0,1[/tex], като точно при тези стойности получаваме решение, а за останалите е винаги неравенство 
Сега остана да докажем, че [tex]f(x)=(a^x-1)x[/tex], където а е параметър, е монотонно растяща функция, с което да кажем, че x=y е единствено решение и сме готови
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
r2d2
VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
гласове: 179
|
| Пуснато на: Fri Aug 15, 2008 2:32 pm Заглавие: |
|
|
| martosss написа: | | Дам, значи с Бернули ще стане - имаме, че се изисква [tex] x\ne 0,1[/tex], като точно при тези стойности получаваме решение, а за останалите е винаги неравенство |
.
Aма първо трябва да докажеш и това на Бернули (без производни няма дa стане), после то е в сила с х>-1 и т.н.
С други думи, които бърка в кацата ( дано да е с мед) си цапа ръцете.
Ето моето решение (пак с производни)
| Description: |
|
| Големина на файла: |
12.13 KB |
| Видяна: |
1541 пъти(s) |
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
Меню
Регистрирайте се
