Правоъгълен триъгълник

[gsinekliev]

Задачата е 14.105 от сборника на Коста Коларов, изд. "Интеграл".За тези които нямат сборника ще дам условието:
Върху всяка страна на правоъгълен триъгълник са построени външно квадрати и около цялата фигура е описана окръжност.За кои правоъгълни триъгълници е възможно това?
отг. За равнобедрените.
Ще съм ви много благодарен ако поне ми кажете как да започна.Има ли признаци за окръжност описана около многоъгълник?

[Реклама]

[martosss]

[Saposto_MM]

Очевидно е, че един многоъгълник е вписан, ако за произволно взета негова страна е вярно, че всички останали върхове я виждат под равни ъгли. Обратното също е вярно. Използвай това, за да решиш задачата.

[Пафнутий]

[ганка симеонова]

[Пафнутий]

[ганка симеонова]

Ако около фигурата може да се опише окръжност, то центърът лежи на средата на хипотенузата-т.О (защо?). Означаваме [tex]AC=b; BC=a [/tex]
Тогава от правоъгълния [tex]\Delta LON=>OL^2=ON^2+LN^2=>R^2=(\frac{b}{2 }+a)^2+\frac{a^2}{4 }........(1) [/tex]
Аналогично от правоъгълния [tex]\Delta FOM=>OF^2=OM^2+MF^2=>R^2=(\frac{a}{ 2}+b)^2+\frac{b^2}{ 4}............(2) [/tex]
от (1) и (2)=>[tex]b^2+ab+\frac{a^2}{ 4}+\frac{b^2}{4 }=\frac{b^2}{4 }+ab+\frac{a^2}{4 }+a^2 =>a^2=b^2=>a=b [/tex]

[ObsCure]

Ех,чертежът ни напомня за един от начините да се докаже Питагоровата теорема....

[gsinekliev]

Благодаря на всички отзовали се.А някой може ли да каже как да докажа, че центъра на въпросната окръжност съвпада със средата на хипотенузата(знам че звучи малко нахално ама не мога да го измисля)?

[Пафнутий]

[gsinekliev]