ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИИ

[dimitar]

Да се докаже ,че за всяко реално число [tex]x[/tex] е изпълнено неравенството
[tex]x^2-x+0,96>sinx[/tex].
ако може помогнете!

[Реклама]

[DTP]

tui kato sinusa ne moje da e po-golqm ot 1no e dostatu4no spored men da dokajem za 0 i 1 ,za drugite e analogi4no.sin0 = 0 => 0,96>0 => za 0 e dokazano

[atanasilchev]

Разгледаи f(x)=x²-x+0.96. Лесно се вижда че f(x) има 1 локален екстремум и той е локален минимум в 1/2 следователно най-малката стойност на f(x)=f(1/2)=1.36. Тъй като sinx неможе да приема по големи стойности от 1 следва че неравенството е изпалнено за всяко х.

[jeo]

[atanasilchev]

Майкооо бахти излагацията аз сам забравил и да смятам даже

[ганка симеонова]

ужас

[jeo]

Карай лятото ти е простено
Иначе правим f(x)=x²-x+0,96-sinx
f'(x)=2x-1-cosx, f''(x)=2+sinx>0 следователно f'(x) е строго растяща, т.е. има само една нула, като от Теоремата на Болцано аз я смятам между 0,8 и 0,9
Следователно от -∞ до някъде на майка си между 0,8 и 0,9 f(x) намаля, а после от на майка си между 0,8 и 0,9 до +∞ расте. Обаче f(0,>0 и f(0,9)>0, така че при x (-∞; 0,[tex]\cup[/tex] (0,9;+∞) f(x)>0, т.е. е изпълнено
Между другото в (0,8;0,9) sinx и x²-x+0,96 растат и понеже sin 0,9< 0,8²-0,8+0,96, то sinx<x²-x+0,96 в целия интервал (0,8;0,9)
Следователно x²-x+0,96>sinx за всяко реално x

[ганка симеонова]

сега е късно, утре ще го подкараме сериозно..
задачата е хубава и е пускана, в чата..

[atanasilchev]

Направа ме е срам че сам вазпитаник на пловдивското фми незнам какво да кажа . Ще ми извинявати ама малко пиинал я гледах тази задача което не е оправдание разбира се. Но по важното са глупостите дето сам писал

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

означаваме [tex]f(x)=x^2-x+0.96-sinx [/tex]. ще докажем, че [tex]f(x)>0[/tex], за всяко х.
[tex]f^'(x)=2x-1-cosx; f^''(x)=2+sinx>0=>f^'(x)[/tex]е растяща функция и може да има само един корен.
[tex]f^'(0)=-2<0; f^'(1)=1-cos1>0=>f^'(x)[/tex]има корен [tex]a\in (0;1)[/tex]
преди корена първата производна приема отрицателни стойности, а след него- положителни=>
точката х=а е точка на локален минимум за f(x).=> [tex]f(x)\ge f(a)[/tex]за всяко х.ще докажем, че [tex]f(a)>0 [/tex]
[tex]f^'(a)=2a-1-cosa=0=>a=\frac{1+cosa}{ 2}[/tex]
[tex]f(a)=a(a-1)+0,96-sina=\frac{1+cosa}{2 }.\frac{cosa-1}{2 }+0,96-sina=-\frac{1}{ 4}sin^2a-sina+\frac{24}{25 }=\frac{1}{4 }(sina+\frac{24}{ 5})(\frac{4}{5 }-sina) [/tex]
първата скоба е >0 за всяко а. ще докажем, че изразът във втората скоба също е >0, за всяко [tex]a\in (0;1) [/tex]
1)[tex]a\le \frac{4}{ 5}=>sina<a\le \frac{4}{ 5}[/tex]
2)[tex]a>\frac{4}{5 }=>cosa=2a-1>2.\frac{4}{ 5}-1=\frac{3}{ 5}=>cosa>\frac{3}{ 5} [/tex], но
[tex]sin^2a+cos^2=1=>sina<\frac{4}{5 }=>f(a)>0=>f(x)\ge f(a)>0 [/tex], с което задачата е решена.

[ганка симеонова]

[jeo]

[ганка симеонова]

не знам. само попитах, как го разбра

[dimitar]

1)[tex]a\le \frac{4}{ 5}=>sina<a\le \frac{4}{ 5}[/tex] как го сметнахме ?

[ганка симеонова]

за всяко [tex]x\in (0; \frac{\pi }{2 })=>sinx<x [/tex]

[dimitar]

1.а иначе защо не разглеждаме случаите:[tex]sin(a)<\frac{4}{ 5}[/tex] и [tex]sin(a)>\frac{4}{ 5}[/tex],a разглеждаме само относно "а"?
2.и неможе ли по някакъв начин да се докаже ,че [tex]x^2-x+0,96>1[/tex]?

[ганка симеонова]

не можах, да разбера първият ти въпрос,

[dimitar]

ок нали искаме да докажем ,че [tex](\frac{4}{5 }-sina)[/tex] >0 това не означава ли ,че трябва да докажем ,че [tex]sin(a)<\frac{4}{5 } [/tex] т.е. това става единствено чрез разглеждането на [tex]a>\frac{4}{ 5}[/tex]и на[tex]a<\frac{4}{ 5}[/tex] така ли?

[ганка симеонова]

[dimitar]

а относно 2-рия въпрос?

[naitsirk]

Не, защото не е вярно. Намери върха на графиката, замести с него и ще видиш, че се получава стойност по-малка от 1

[ганка симеонова]

Кристиан ти отговори
Но, ако иам нещо неясно, питай. Идеята е, да я разбереш

[dimitar]

da.ok,mersi

[jeo]