Неравенство

[Pinetop Smith]

Ако [tex]a_{i} \ge 0 (i = 1, 2, 3, ..., n)[/tex] и [tex]a_{1}a_{2} ... a_{n} = 1[/tex], да се докаже, че

[tex]\frac{a_{1}^2}{a_{2}} + \frac{a_{2}^2}{a_{3}} + ... + \frac{a_{n}^2}{a_{1}} \ge n[/tex].

[Реклама]

[Saposto_MM]

[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^{2}}{a_{i+1}}\ge n\sqrt[n]{\frac{\prod_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}{\prod_{i=1}^{n}a_{i}}}=n[/tex], съгласно СА-СГ.

[Пафнутий]

От средно аритметично [tex]\ge[/tex] средно геометрично ([tex]a_{i+n}=a_{i}[/tex])
[tex]\sum_{i=1}^n a_{i}\ge n.\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_{i}}=n[/tex]
От "хубавото неравенство"
[tex]\sum_{i=1}^n \frac{a_{i}^2}{a_{i+1}}\ge \frac{(\sum_{i=1}^n a_{i})^2}{\sum_{i=1}^n a_{i}}\ge \frac{n^2}{n}=n[/tex]

[Saposto_MM]

Привеждаме под общ знаменател и получаваме [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\ge n[/tex], което е вярно съгласно СК-СА.

[Saposto_MM]

Последното ми решение е грешно. За да се реванширам, казвам, че задачата може да се реши като се приложи СГ-СХ за числата [tex]\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}},\frac{a_{2}^{3}}{a_{2}},\cdots,\frac{a_{n}^{2}}{a_{1}}[/tex].
Тази задача ми напомни за едно друго неравенство:
За положителните числа [tex]a_{1},a_{2}\cdots,a_{n}[/tex], докажете че [tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^{3}}{a_{i+1}}\ge\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}[/tex].

[Pinetop Smith]

Хубавото:

[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^3}{a_{i+1}} = \sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}^4}{a_{i}a_{i+1}} \ge \frac {[\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2] ^2}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1}} [/tex]

[tex]\frac {[\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2] ^2}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1}} \ge \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 <=> \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \ge \sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1} <=> \sum_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})^2 \ge 0[/tex]

QED


Нова задачка:

Ако [tex]a_{i} \ge 0[/tex] и [tex]n \ge 2[/tex], док., че

[tex]\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}-a_{i}} \ge \frac{n}{n-1}[/tex]

[Пафнутий]

[Saposto_MM]

Полагаме [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{i}=k[/tex]. Прилагаме Хубавото неравенство и установявяме, че трябва да докажем, [tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{k^{2}}{k^{2}-\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}\ge \frac{n}{n-1} \Leftrightarrow n\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\ge \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)[/tex], което е неравенството СК-СА.
Тази задача е почти същата като неравенството от първата БОМ, която решавам по почти същия начин.

[Pinetop Smith]

Да, и аз така Хубавото неравенство е много хубаво

[Пафнутий]

[Saposto_MM]

По олимпиади можеш да ползваш каквото си искаш. Само от 8-ми клас надолу са малко по-стриктни.

[soldier_vl]

[Saposto_MM]

Една лесна задача:
Да се докаже, че за реални положителни [tex]a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}[/tex] е вярно [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{n-1}\ge \sum_{i=1}^{n}\frac{\prod_{i=1}^{n}a_{i}}{a_{i}}[/tex].
Нека Николай.Каракехайов не пише решение.

[martosss]