Регистрирайте сеРегистрирайте се

Лятна задача


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Aug 03, 2008 10:06 am    Заглавие: Лятна задача

Е, математици, виждам че надзъртате из форума..Ето ви една задачка, за да не скучаете Very Happy

Дадени са различни неотрицателни числа а и b, за които [tex]ab\ge a^3+b^3[/tex]
Да се докаже, че:
a)[tex]a+b\le 1[/tex]
б) [tex]\frac{1}{4 }\ge ab\ge a+b-\frac{3}{4 } [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Aug 03, 2008 10:35 am    Заглавие:

От неравенството между ср. аритм. и ср. геом. следва, че
[tex]a^2+b^2\ge 2ab\Right a^2-ab+b^2\ge ab[/tex]

сега от условието имаме, че
[tex]ab\ge a^3+b^3,\: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]

Сега имаме [tex](a+b)(a^2-ab+b^2)\ge (a+b)ab[/tex] Получихме

[tex]ab\ge a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\ge (a+b)ab\Right \\ab\ge (a+b)ab\Right a+b\le 1[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Aug 03, 2008 10:38 am    Заглавие:

Razz , давай следващото Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Aug 03, 2008 11:02 am    Заглавие:

б) [tex]1\ge a+b\ge 2\sqrt{ab}\Right \frac{1}{2}\ge \sqrt{ab}\Right \frac{1}{4}\ge ab[/tex]

[tex]1\ge a+b\Right \frac{1}{4}\ge a+b-\frac{3}{4}[/tex]
Но това последното с ab нещо ми убягва Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Aug 04, 2008 7:58 pm    Заглавие:

Относно [tex]ab\ge a+b-\frac{3}{4 }[/tex]. Нека a+b=p, ab=q. Тогава [tex]1\ge p\ge 0[/tex]. Трябва да докажем, че [tex]q\ge p-\frac{3}{4}[/tex]. Имаме [tex]q\ge \frac{p^{3}}{1+3p}\ge p-\frac{3}{4} \Leftrightarrow 4p^{3}-12p^{2}+5p+3\ge 0 \Leftrightarrow \left(p-1\right)\left(4p^{2}-8p-3\right)\ge 0[/tex]. Очевидно [tex]p-1\le 0[/tex]. Решенията на [tex]4x^{2}-8x-3\le 0[/tex] са в нтервала [tex][\frac{2-\sqrt{7}}{2};\frac{2+\sqrt{7}}{2}][/tex], а p се мени в интервала [tex][0;1][/tex], следователно [tex]4p^{2}-8p-3<0[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.