Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Sun Aug 03, 2008 10:06 am Заглавие: Лятна задача |
|
|
Е, математици, виждам че надзъртате из форума..Ето ви една задачка, за да не скучаете
Дадени са различни неотрицателни числа а и b, за които [tex]ab\ge a^3+b^3[/tex]
Да се докаже, че:
a)[tex]a+b\le 1[/tex]
б) [tex]\frac{1}{4 }\ge ab\ge a+b-\frac{3}{4 } [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Aug 03, 2008 10:35 am Заглавие: |
|
|
От неравенството между ср. аритм. и ср. геом. следва, че
[tex]a^2+b^2\ge 2ab\Right a^2-ab+b^2\ge ab[/tex]
сега от условието имаме, че
[tex]ab\ge a^3+b^3,\: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]
Сега имаме [tex](a+b)(a^2-ab+b^2)\ge (a+b)ab[/tex] Получихме
[tex]ab\ge a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\ge (a+b)ab\Right \\ab\ge (a+b)ab\Right a+b\le 1[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Sun Aug 03, 2008 10:38 am Заглавие: |
|
|
, давай следващото |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Aug 03, 2008 11:02 am Заглавие: |
|
|
б) [tex]1\ge a+b\ge 2\sqrt{ab}\Right \frac{1}{2}\ge \sqrt{ab}\Right \frac{1}{4}\ge ab[/tex]
[tex]1\ge a+b\Right \frac{1}{4}\ge a+b-\frac{3}{4}[/tex]
Но това последното с ab нещо ми убягва |
|
Върнете се в началото |
|
|
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Mon Aug 04, 2008 7:58 pm Заглавие: |
|
|
Относно [tex]ab\ge a+b-\frac{3}{4 }[/tex]. Нека a+b=p, ab=q. Тогава [tex]1\ge p\ge 0[/tex]. Трябва да докажем, че [tex]q\ge p-\frac{3}{4}[/tex]. Имаме [tex]q\ge \frac{p^{3}}{1+3p}\ge p-\frac{3}{4} \Leftrightarrow 4p^{3}-12p^{2}+5p+3\ge 0 \Leftrightarrow \left(p-1\right)\left(4p^{2}-8p-3\right)\ge 0[/tex]. Очевидно [tex]p-1\le 0[/tex]. Решенията на [tex]4x^{2}-8x-3\le 0[/tex] са в нтервала [tex][\frac{2-\sqrt{7}}{2};\frac{2+\sqrt{7}}{2}][/tex], а p се мени в интервала [tex][0;1][/tex], следователно [tex]4p^{2}-8p-3<0[/tex]. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|