Задачка от миналия век

[dim]

Нека a и b са естествени числа, а q и r са съответно частно и остатък при делението на числото а²+b² с числото a+b. Да се намерят всики двойки (a;b), за които q+r²=1977

Сигурно е много лесна, но в момента не мога да се справя
Ако може някой да даде идея за решение.

[Реклама]

[Nona]

[tex]a^2+b^2=(a+b).q+r, \ 0\le r<a+b \\ a^2+b^2\ge\frac{(a+b)^2}{2} \Leftrightarrow (a+b)q+r\ge\frac{(a+b)^2}{2}\Rightarrow q\ge \frac{a+b}{2},\ \fbox{r<2q } \\ 45^2=2025>1977>1936=44^2 \\ 1977=44^2+41[/tex]

Най-голямото число по-малко от 1977, което е точен квадрат на цяло число, е 1936=44². Следващото най-голямо число е 43²=1849, но тогава r=1977-1849=128>2.43=2q - противоречие. Следователно [tex]q=44, \ r=41.[/tex]

[tex]a^2+b^2=44(a+b)+41 \\ a^2-2.22a+b^2-2.22b=41 \\ a^2-2.22a+484+b^2-2.22b+484=41+2.484 \\ (a-22)^2+(b-22)^2=1009[/tex]

Единствените цели числа, сумата от квадратите на които е 1009, са 15 и 28. Оттук намираме, че [tex](a,b)=(7,50), (37,50), (50,7),(50,37).[/tex]

Edit: Благодаря, dim

[dim]

Благодаря за изчерпателното решение. Именно ключовото r<2q ми убягваше

[dim]

Днес забелязах че е записано: [tex]q\ge \frac{a^{2}+b^{2 }}{a+b }\ge \frac{a+b}{2 } [/tex], а по всяка вероятност е имано впредвид [tex]\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b }\ge q\ge \frac{a+b}{2}[/tex], което е вярното според мен.


От [tex]a^{2}+b^{2}\ge \frac{a+b}{2}[/tex], следва че [tex](a+b)q+r\ge \frac{(a+b)^{2}}{2}[/tex], което е изпълнено за [tex]q\ge \frac{a+b}{2} [/tex]

Интересното в случая е, че това ни най-малко не пречи на верността на резултатите
Най-вероятно е грешка в записването

[martosss]

[marshal]

Задачката е от 1977 нали?

[ники1996]

добро е решението