Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задачка от миналия век


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jul 28, 2008 1:04 pm    Заглавие: Задачка от миналия век

Нека a и b са естествени числа, а q и r са съответно частно и остатък при делението на числото а2+b2 с числото a+b. Да се намерят всики двойки (a;b), за които q+r2=1977

Сигурно е много лесна, но в момента не мога да се справя Embarassed
Ако може някой да даде идея за решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Mon Jul 28, 2008 2:22 pm    Заглавие:

[tex]a^2+b^2=(a+b).q+r, \ 0\le r<a+b \\ a^2+b^2\ge\frac{(a+b)^2}{2} \Leftrightarrow (a+b)q+r\ge\frac{(a+b)^2}{2}\Rightarrow q\ge \frac{a+b}{2},\ \fbox{r<2q } \\ 45^2=2025>1977>1936=44^2 \\ 1977=44^2+41[/tex]

Най-голямото число по-малко от 1977, което е точен квадрат на цяло число, е 1936=442. Следващото най-голямо число е 432=1849, но тогава r=1977-1849=128>2.43=2q - противоречие. Следователно [tex]q=44, \ r=41.[/tex]

[tex]a^2+b^2=44(a+b)+41 \\ a^2-2.22a+b^2-2.22b=41 \\ a^2-2.22a+484+b^2-2.22b+484=41+2.484 \\ (a-22)^2+(b-22)^2=1009[/tex]

Единствените цели числа, сумата от квадратите на които е 1009, са 15 и 28. Оттук намираме, че [tex](a,b)=(7,50), (37,50), (50,7),(50,37).[/tex]

Edit: Благодаря, dim Smile


Последната промяна е направена от Nona на Tue Jul 29, 2008 4:50 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jul 28, 2008 3:02 pm    Заглавие:

Благодаря за изчерпателното решение. Именно ключовото r<2q ми убягваше Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Jul 29, 2008 4:21 pm    Заглавие:

Днес забелязах че е записано: [tex]q\ge \frac{a^{2}+b^{2 }}{a+b }\ge \frac{a+b}{2 } [/tex], а по всяка вероятност е имано впредвид [tex]\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b }\ge q\ge \frac{a+b}{2}[/tex], което е вярното според мен.


От [tex]a^{2}+b^{2}\ge \frac{a+b}{2}[/tex], следва че [tex](a+b)q+r\ge \frac{(a+b)^{2}}{2}[/tex], което е изпълнено за [tex]q\ge \frac{a+b}{2} [/tex]

Интересното в случая е, че това ни най-малко не пречи на верността на резултатите Smile
Най-вероятно е грешка в записването
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Sep 17, 2008 2:04 pm    Заглавие:

Nona написа:
[tex](a+b)q+r\ge\frac{(a+b)^2}{2}\Rightarrow q\ge \frac{a+b}{2}[/tex]

Това как следва? Ако r е положително q може да стане по-малко и неравенството пак да е в сила Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
marshal
Напреднал


Регистриран на: 31 Jul 2008
Мнения: 358
Местожителство: София
Репутация: 34.8Репутация: 34.8Репутация: 34.8
гласове: 17

МнениеПуснато на: Tue Oct 21, 2008 5:39 pm    Заглавие:

Задачката е от 1977 нали?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ники1996
Начинаещ


Регистриран на: 06 Jan 2009
Мнения: 3


МнениеПуснато на: Wed Jan 21, 2009 8:29 pm    Заглавие:

добро е решението
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.