Задача от ПМТ 2002 г.

[JusTok]

Да се намерят всички естествени числа n, за които е изпълнено равенството n-[n{√n}]=2

[Реклама]

[Baronov]

Нека n = m²+k, където m=[√n]. От тук условието след елементартни преобразувания е еквивалентно на:
[tex] m+\frac{n-2}{n} > n^{0.5} > m + \frac{n-3}{n} [/tex]. Разглеждаме само лявото неравенство. Повдигаме го на квадрат и получаваме:
[tex] 2m(1-\frac{2}{n}) + (\frac{n-2}{n})^{2} > k [/tex]. Откъдето лесно се вижда, че k < 2m.
Сега записваме другото неравенство във вида:
[tex] \frac{k}{n^{0.5} + m} > \frac{n-3}{n} [/tex], което е еквивалентно на 6m > (2m-k)n > n > m².
Тук използваме, че 2m-k≥1 и че n > m². От тук се получава, че m < 6 и остава да се разгледат случаите.