още една задача за делимост

ганка симеонова

Да се докаже, че ако n е естествено число, то
[tex] 2^{4n}-15n-1 [/tex] е кратно на [tex]225 [/tex]

Реклама

naitsirk · Пуснато на: Wed Jul 23, 2008 1:37 pm Заглавие:

Чрез проверка установяваме, че условието е вярно за n=1.
Нека допуснем, че за n=k условието също е изпълнено => [tex] 2^{4k}-15k-1[/tex] кратно на 255. За n=k+1 имаме [tex]2^{4(k+1)}-15(k+1)-1=16.2^{4k}-15k-15-1=(2^{4k}-15k-1)+15(2^{4k}-1)[/tex] Поради допускането [tex]2^{4k}-15k-1[/tex] е кратно на 225. Тъй като 255=15.15, ако докажем, че [tex]2^{4k}-1[/tex] е кратно на 15 задачата е решена. Отново по метода на пълната математическа индукция допускаме, че [tex]2^{4m}-1[/tex] е кратно на 15. Тогава за k=m+1 имаме [tex]2^{4(m+1)}+1=2^{4m}-1+15.2^{4m}[/tex], което очевидно е кратно на 15, с което задачата е решена Smile

ганка симеонова · Пуснато на: Wed Jul 23, 2008 1:42 pm Заглавие:

naitsirk · Пуснато на: Wed Jul 23, 2008 1:52 pm Заглавие:

Да, моя грешка, извинявам се за което Embarassed