Задача

[Garoll]

Ако може малко помощ за следната задача:

Да се докаже , че за всяко естествено число n числото [tex]a_{n}=20^{2n}+16^{2n}-3^{2n}-1[/tex] се дели на 323.

[Реклама]

[r2d2]

Като начало 323=17.19, а после групирай по два начина!

[Garoll]

Мислих поне 40 минути и не се сещам какво точно да направя...поне по 3-4 начина с индукция пробвах , но не мога да получа нищо.
Това , че 323=19.17 също не мога да се сетя как да го използвам...
А групирането , с което опитах да направя нещо беше [tex]a_{n}=4^{2n}(5^{2n}+4^{2n})-(3^{2n}+1)[/tex] , но пак не получавам нищо...
Иначе идеята ми е да получа (нещо).ak +323.(нещо) , но не се сещам точно какво да направя , ако може малко по-подробно ще съм благодарен.

[ганка симеонова]

за задачата ще ползвам следните формули. за всяко n е в сила:
[tex]a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...1) [/tex]
за нечетно n е в сила:
[tex]a^n+1=(a+1)(a^{n-1}-a^{n-2}+a^{n-3}-....-a+1) [/tex]
правим първото групиране:
[tex](20^n-3^n)(20^n+3^n)+ (16^{n-1}+1)(16^n-1)= [/tex]
от първата формула става ясно, че [tex]20^n-3^n=(20-3) (20^{n-1}+....3{n-1}=17. (20^{n-1}+....3{n-1}) [/tex]
следователно първото събираемо се дели на 17. да видим второто. ако n-нечетно=>
втората формула е в сила за [tex]16^n+1[/tex]=>то се дели на 17=>целият сбор се дели на 17. aко n- четно, т.е. [tex]=n=2k=>16^n-1=16^{2k}-1=(16^k-1)(16^k+1) [/tex],
което също се дели на 17
заб. ако к винаги остава четно, прилагайки формулата за сбор по разлика в един момент ще достигнем до [tex](16-1)(16+1) [/tex], което се дели на 17.
второ групиране: [tex](20^n-1)(20^n+1)+(16^n-3^n)(16^n+3^n) [/tex]
аналогични изводи правим и тук. [tex]20^n-1[/tex]винаги се дели на 19. второто събираемо разглеждаме при четни и нечетни n и установяваме, че и то се дели на 19

[Garoll]

Мерси много
Ако някой се сеща за решение с индукция нека го напише