Уравнение

[Saposto_MM]

Нека n е неотрицателно цяло число, а m и k са естествени числа. За тях е в сила [tex]m\ge (2k+1)[/tex]. Нека за числата x и y е вярно [tex]x^{2^{n}}+y^{2^{n}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}[/tex], където [tex]p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}[/tex] са две по две различни прости числа. Докажете, че уравнението [tex]x^{2^{n}(2k+1)}+y^{2^{n}(2k+1)}=z^{m}[/tex] няма решение в естествени числа.

[Реклама]

[Пафнутий]

Ще изложа моите разсъждения. Нека за улеснение [tex]x^{2^n}=a[/tex] и [tex]y^{2^n}=b[/tex]. Тогава [tex]a+b=\prod_{i=1}^{n}p_{i}[/tex] , за прости [tex]p_{i}[/tex]([tex]p_{i}[/tex]≠[tex]p_{j}[/tex], [tex]i[/tex]≠[tex]j[/tex]).Тогава уравнението е еквивалентно на:
[tex]a^{2k+1}+b^{2k+1}=z^m [/tex]
[tex](a+b)(\sum_{i=o}^{2k} (-1)^i.a^{2k-i}b^{i})=z^m[/tex]
[tex](\prod_{i=1}^{n}p_{i})(\sum_{i=o}^{2k} (-1)^i.a^{2k-i}b^{i})=z^m (*)[/tex]
За да има решение, то трябва [tex]0 \equiv z (mod \prod_{i=1}^{n}p_{i})\Rightarrow z=t.\prod_{i=1}^{n}p_{i}[/tex] , за някое естествено [tex]t[/tex]. Тогава [tex](*)[/tex] добива вида:
[tex](\prod_{i=1}^{n}p_{i})(\sum_{i=o}^{2k} (-1)^i.a^{2k-i}b^{i})=t^m.\prod_{i=1}^n p_{i}^m[/tex]
[tex](\sum_{i=o}^{2k} (-1)^i.a^{2k-i}b^{i})=t^m.\prod_{i=1}^n p_{i}^{m-1}[/tex]

Нататък запецнах... Утре ще помисля